Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Super Yoshi

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demonstration d'une formule avec les sommes

Bonjour,

j'ai un peu de mal à finir mon exercice, pouvez-vous m'aider svp je dois démontrer que [tex]a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}b^{n-1-k}a^k [/tex]

voici ce que j'ai fais:

on développant [tex](a-b)\sum_{k=0}^{n-1}b^{n-1-k}a^k[/tex]

[tex] =\sum_{k=0}^{n-1}b^{n-k}a^k - \sum_{k=0}^{n-1}b^{n-1-k}a^{k+1}[/tex]

changement de variable pour j=k+1

[tex]= \sum_{k=0}^{n-1}b^{n-k}a^k -  \sum_{k=1}^{n-1}b^{n-1-k}a^{k} [/tex]

là je suis bloqué, je sais qu'il faut faire en sorte que la somme à gauche k doit aller de 0 à n-1 pour pouvoir avancer mais je ne vois pas comment

Chlore au quinoa

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Re : demonstration d'une formule avec les sommes

Salut !

Petite erreur : $(a-b)\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}\,b^{n-1-k}a^k=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}\,b^{n-1-k}a^{k+1}-\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}\,b^{n-k}a^k$

Tu avais inversé les 2 sommes.
Ensuite pour ton changement de variable, si tu remplaces dans la première somme $n-k-1$ par $n-(k+1)$ tu y verras plus clair pour effectuer uniquement dans cette somme le changement de variable $j=k+1$

Bon courage,

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (04-02-2021 08:40:25)