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Lynow

Invité

Dénombrement

Bonjour

Je peine sur un exercice de dénombrement. Voici les questions :

iii)Une trame de N=100bits contient n=3 erreurs. Quel est le nombre de façons de disposer ces 3 erreurs dans la trame ?

Pour cette question, je fais [tex]C_{100}^{3} = \frac{100!}{97!3!} = 161700[/tex]

iv)En  fait,  on  s?intéresse  aux  performances  d?un  code correcteur...  Quel  est  le  nombre  de façons de disposer ces trois erreurs consécutivement dans la trame précédente (c?est-à-dire que les trois erreurs doivent être à la suite) ?

Ici, je pensais donc calculer avec la formule d'arrangement, soit [tex]A_{100}^{3} = \frac{100!}{97!} = 970200[/tex]

Mais cela s'avère faux, car le nombre est plus grand que la question précédente, ce qui n'est pas cohérent.

v)Dans une transmission, on dispose de N=10 canaux de fréquences.  3 utilisateurs (A, B et C)  veulent  communiquer  en  même  temps ;  pour  cela,  ils  doivent  utiliser  des  canaux différents. Combien a-t?on de possibilité pour allouer les canaux aux utilisateurs ?

Ici je n'ai pas réussi, j'ai regardé une correction sur internet, où il est écrit : [tex]A_{10}^{3} = \frac{10!}{(10-3)!} = 720[/tex]

En fait, je n'arrive pas à comprendre comment savoir quand est-ce qu'il faut utiliser la formule de combinaison, ou celle de l'arrangement. Dans cette dernière question, pour moi, je n'utiliserais pas la formule d'arrangement car peu importe l'ordre des utilisateurs ... Je suis un peu perdu

Fred

Administrateur

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Re : Dénombrement

Salut,

  Pour la question 2, le problème c'est que tu fais l'hypothèse que l'on distingue les 3 erreurs.
Or, on te parle juste de la place où on peut placer ces 3 erreurs consécutivement.
Mais une fois que tu as choisi la place de la première erreur, tu as la place des deux autres, puisqu'elles se suivent.
Donc tu as .... choix (ce qui est beaucoup moins!).

F.

Chlore au quinoa

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Re : Dénombrement

Salut !

Pour la question iii) en effet le résultat est bien $\binom{100}{3}$
Fred a déjà éclairé ton erreur sur la iv)
Pour la v), justement l'ordre importe ! On te demande le nombre de possibilités ! Si je relie par des tirets le numéro des canaux et les utilisateurs, tu es bien d'accord que A-1/B-2/C-3 est une possibilité différente de A-1/B-3/C-2 ?

Il aurait fallu utiliser les combinaisons si la question avait été "Combien de groupes de 3 canaux peuvent choisir les 3 utilisateurs ?"

J'espère que tu vois la subtilité !

Retiens que les combinaisons $\binom{n}{k}$ s'utilisent quand l'ordre n'importe pas, et que les arrangements $A_k^n$ c'est si au contraire l'ordre importe.

En espérant avoir été clair,

Adam