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Ovomaltine2

Invité

Inclusion de l'image d'un projecteur qui est la compos de projecteurs

Bonjour, j'ai un problème sur la fin de cet exercice :

Soit E un R-espace vectoriel.
1. Soit f ∈ L(E), et g un projecteur de E. Montrer que : Ker(f ○ g) = Ker(g) ⊕ (Ker f ∩ Im g).
2. Soit f un projecteur de E, et g ∈ L(E). Montrer que : Im(f ○ g) = Im(f) ∩ (Ker f + Im g).
3. Soit f et g deux projecteurs de E. Montrer que f ○ g est un projecteur si et seulement si :
Im(f) ∩ (Ker(f) + Im(g)) ⊂ Im(g) ⊕ (Ker f ∩ Ker g).

Je suis à la question 3 et j'ai montré le sens rétro de l'équivalence, et dans le sens direct que Im(g) et (Ker f ∩ Ker g) sont en somme directe.
Je n'arrive cependant pas à montrer l'inclusion. J'ai d'abord pris un élément de Im(f) ∩ (Ker(f) + Im(g)) en l'écrivant : [tex]y = f(x) = x_k + g(x') [/tex], et comme la somme est directe j'ai voulu montrer que [tex]x_k[/tex] était dans Ker(g). Avec la question 2. j'ai pu dire que [tex]x_k[/tex] était dans Ker(f o g) et j'ai essayé d'utiliser la question 1., mais je n'arrive toujours pas à montrer que [tex]x_k[/tex] est dans Ker(g). Est-ce que je m'y prend mal ? Auriez-vous une indication s'il vous plaît ?
Merci d'avance !

Fred

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Re : Inclusion de l'image d'un projecteur qui est la compos de projecteurs

Bonjour,

  Et si tu décomposais $x_k$ en $z_1+z_2$ avec $z_1\in \ker(g)$ et $z_2\in\ker(f)\cap \textrm{Im}(g)$.
Puisque $x_k\in \ker(f)$ et $z_2\in \ker f$, tu as aussi $z_1\in \ker(f)$....

F.

Ovomaltine2

Invité

Re : Inclusion de l'image d'un projecteur qui est la compos de projecteurs

Merci pour votre indication grâce à vous c'est bon merci !!