Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#51 18-01-2021 09:08:48

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 070

Re : Des équations et des cubes

Re,


Je crois avoir trouvé que dans un triangle quelconque, on a : a sin(A) = b sin(B) = c sin(C)

C'est ce qu'on désigne par "Loi des sinus", mais c'est :
$\dfrac{a}{\sin \hat A}=\dfrac{b}{\sin \hat B}=\dfrac{c}{\sin \hat C}$

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#52 18-01-2021 10:08:10

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 403

Re : Des équations et des cubes

C'est exact Yoshi !

J'ai oublié les "h". Je voulais écrire : ha sin(A) = hb sin(B) = hc sin(C), qui vient tout droit des 2 formules

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) et a*ha = b*hb = c*hc, en les divisant membre à membre.

Bonne journée !

Dernière modification par Bernard-maths (18-01-2021 10:08:48)

Hors ligne

#53 18-01-2021 17:57:20

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Des équations et des cubes

Bonjour,

yoshi a écrit :

...

Je crois avoir trouvé que dans un triangle quelconque, on a : a sin(A) = b sin(B) = c sin(C)

C'est ce qu'on désigne par "Loi des sinus", mais c'est :
$\dfrac{a}{\sin \hat A}=\dfrac{b}{\sin \hat B}=\dfrac{c}{\sin \hat C}$ ...

Je crois que la relation corrigée par Yoshi ne permet que de définir un cercle à partir de deux points (A, B) et de l'angle ($\hat C$).

# J'avoue avoir du mal à suivre toutes tes digressions:

Bernard-maths a écrit :

... SI F(x,y) = 0 est convexe quelconque, les côtés parallèles sont à des distances différentes, plus les côtés sont longs, et plus la distance est courte ! Je soupçonne peut être une relation liée aux aires ??? A étudier ...

Ces courbes, je les ai appelées "lignes de niveau".

On peut aussi mettre un exposant n sur les termes de F(x,y) = K ... je les appelle "acolytes en puissances" ...
On peut aussi créer n'importe quelle expression F(x,y) = 0, et ajouter K à droite ... ça peut donner des courbes aussi ...

... des fonctions non-linéaires feront sans doute apparaître des lignes courbes, mais ce n'est plus le sujet !

# Et puisque la multiplication des lièvres tourne à l'élevage, je donne ici un lien vers une ancienne discussion dont le sujet, assez exotique, n'est pas sans rapport avec le présent échange.
J'avais pris au mot un personnage qui paraissait avoir plus de problèmes avec les mathématiciens qu'avec les mathématiques.
@ Yoshi: du boulot pour toi, sans doute, puisque je viens d'y débusquer une publicité clandestine (et de la signaler).

# Le dernier programme, hâtivement rédigé, n'utilise que des variables entières; il fait appel à des fonctions élémentaires du type:

F(d, x, y) = |mx + ny - d| + |mx + ny + d| - 2d ;

& la fonction Fabxy01(a, b, x, y) fait intervenir
F(a, x, y) = |x - a| + |x + a| - 2a ; F(b, x, y) = |y - b| + |y + b| - 2b , avec a= 100 , b= 70 , marge = 50 ;
& la fonction Fabxy02(a, b, x, y) fait intervenir
F(a, x, y) = |2x + 3y - a| + |2x + 3y + a| - 2a ; F(b, x, y) = |2x - 3y - b| + |2x - 3y + b| - 2b , avec a= 300 , b= 200 , marge = 200 ;
& la fonction Fabxy03(a, b, x, y) fait intervenir
F1(a, x, y) = |x - a| + |x + a| - 2a ; F1(a, x, y) = |y - a| + |y + a| - 2a ,
F2(a, x, y) = |x + y - b| + |x + y + b| - 2b ,
F3(a, x, y) = |x - y - b| + |x - y + b| - 2b , avec a = 100, b = 141, marge = 100 .

# Il faut bien sûr rationaliser tout cela, en partant de la liste des sommets du polyèdre.
Un nombre pair (N = 2N') de sommets permet de définir (N') bandes à bords parallèles (∆1, ∆2 ... ∆N') à l'intérieur desquelles chaque fonction caractéristique F(d, x, y) est nulle:
KAspWLiRHQ0_Hexagone-3-bandes.png
L'intersection de toutes les bandes, sur (et seulement sur) laquelle la somme des fonctions précédentes est nulle, coïncide donc avec l'intérieur et le bord du polygone.

Dernière modification par Wiwaxia (18-01-2021 21:52:05)

Hors ligne

#54 18-01-2021 20:48:25

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 403

Re : Des équations et des cubes

Bonsoir !

Bon, je crois que nous avons, peut être, quelques légers problèmes de notation et de compréhension ...
Pourtant je sens que tu n'es pas loin du tout de ce que je veux faire passer ...

Donc je te propose de reprendre ton hexagone en biais, et avec mes notations de définir une équation de l'hexagone plein, et d'une courbe de niveau associée.


Je vais supposer qu'on est dans un repère du plan d'origine C, et que les coordonnées des points sont : A1(5,-1), A2(4,3), A3(2,4), A4(-5,1), A5(-4,-3) et A6(-2,-4). On cherche alors des équations implicites des 6 droites supports des 6 côtés :


(A1A6) : 3x-7y-22=0 ; (A3A4) : 3x-7y+22=0 ; (A2A1) : 4x+y-19=0 ; (A4A5) : 4x+y-19=0 ; (A3A2) : x+2y-10=0 et (A5A6) : x+2y+10=0.

Si M(x,y), alors une équation de la bande Delta1 est donnée par MH3+MH6=largeur de la bande !

Soit Abs(3x-7y+22)/Rac(3²+7²) + Abs(3x-7y-22)/Rac(3²+7²) = largeur de Delta1. On a donc une fonction F1(x,y,d1) qui est nulle sur Delta1, et >0 à l'extérieur ... On fait de même avec Delta2 et Delta3. La suite, tu l'as dite.


Une équation du polygone plein est alors : F1(x,y,d1) + F2(x,y,d2) + F3(x,y,d3) = 0


Pour une ligne de niveau, on prend l'équation : F1(x,y,d1) + F2(x,y,d2) + F3(x,y,d3) = 0 + K, avec K > 0.
Pour ce que j'ai trouvé et vu, cela dessine une courbe polygonale autour du polygone initial. Avec des côtés parallèles à ceux du polygone de départ, et de même longueur, plus des segments joignant ces côtés au niveau des sommets. Avec double de côtés et de sommets !


Cette méthode des bandes de plan est applicable pour n'importe quel polygone convexe ... et, ne t'en déplaise, même si on sort du "sujet", pour n'importe quelle zone de plan convexe, si on en connaît une équation de son intérieur + bord.


Pour un polygone convexe quelconque, à chaque côté, on associe un sommet opposé "le plus éloigné", par lequel on trace une parallèle au dit côté ... on est ramené à un ensemble de bandes ... etc ...

Pour ce qui est de l'éloignement des côtés de la ligne de niveau, j'ai constaté qu'ils sont d'autant moins éloignés qu'ils sont plus longs : entre 2 côtés de longueurs différentes, le plus long est plus près du polyèdre de départ ! Pourquoi ? J'ai pas cherché ...



J'ai du mal à suivre tes programmes, même si j'en devine un peu la structure, en quel langage ?

Il FAUT que j'arrive à mettre des images !


Bon, maintenant il est tard, la journée a été un peu chargée, alors,

Bonne nuit ! Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (18-01-2021 21:24:59)

Hors ligne

#55 18-01-2021 22:35:21

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Des équations et des cubes

Bonsoir,

Bernard-maths a écrit :

... Je vais supposer qu'on est dans un repère du plan d'origine C, et que les coordonnées des points sont : A1(5,-1), A2(4,3), A3(2,4), A4(-5,1), A5(-4,-3) et A6(-2,-4) ...

Je poursuivrai sur ce nuage de points (à un facteur d'homothétie près), ce qui permettra la comparaison des résultats.

Bernard-maths a écrit :

... On cherche alors des équations implicites des 6 droites supports des 6 côtés :
(A1A6) : 3x-7y-22=0 ; (A3A4) : 3x-7y+22=0 ; (A2A1) : 4x+y-19=0 ; (A4A5) : 4x+y-19=0 ;
(A3A2) : x+2y-10=0 et (A5A6) : x+2y+10=0  ...

Je ne vérifie pas les calculs, car il se fait tard; cependant l'une des constantes (-19) devrait être affectée du signe (+).

Bernard-maths a écrit :

... Si M(x,y), alors une équation de la bande Delta1 est donnée par MH3+MH6=largeur de la bande ...

L'indexation des domaines (∆k) est à reprendre; la modification de l'image était trop longue.

Bernard-maths a écrit :

... J'ai du mal à suivre tes programmes, même si j'en devine un peu la structure, en quel langage ? ...

Pascal, encore et toujours.
Cela se lit comme du pseudo-code ... S'il le faut, je donnerai quelques clefs concernant les identificateurs personnels.

Dernière modification par Wiwaxia (19-01-2021 17:25:41)

Hors ligne

#56 19-01-2021 13:02:07

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Des équations et des cubes

Soit une arête (AiAj) reliant deux sommets consécutifs, portée par la droite (d),
(θ) l'inclinaison de celle-ci par rapport à l'axe (x'x), située dans l'intervalle ]-π ; + π] ,
(P, Q) ses points d'intersection avec les axes, de coordonnées (a, 0) et (0, b),
(OHi) le segment normal à la droite (d).

KAtiOKLy8w0_Figure-AiAj-02.png

1°) Il vient, si l'on considère le triangle rectangle (OPQ):

h = - a.Sin(θ) = b.Cos(θ) (l'angle θ est négatif dans le cas de la figure)
d'où: 1 = (h/a)2 + (h/b)2 et h2 = a2b2/(a2 + b2) ;

2°) Et en ce qui concerne le rectangle (AiBiAjBj)

AiAj2 = AiBi2 + BiAj2 , d'où: AiAj = ((xj - xi)2 + (yj - yi)2)1/2 = Lij (par convention)
yi - yj = AiAj.Sin(θ) (l'angle θ est négatif dans le cas de la figure);
xi - xj = AiAj.Cos(θ)

3°) Enfin la droite (d) admet pour équation cartésienne: (x/a) + (y/b) = 1 ;
du fait qu'elle passe par les points (Ai, Aj) on déduit les expressions des deux termes associées:

a = (xiyj - xjyi)/(yj - yi) , b = -(xiyj - xjyi)/(xj - xi) ;

on retrouve au passage le déterminant de deux rayons vecteurs consécutifs:

Dij = Det(OAi, OAj) = (xiyj - xjyi) ,

nécessairement non-nul dans le cas d'un polygone convexe, et positif dans le cas d'un enroulement des arêtes successives dans le sens direct.

On obtient finalement: h2 = (xiyj - xjyi)2/((xj - xi)2 + (yj - yi)2) =  Dij2/Lij2 ,
ce qui conduit pour la racine positive à h = |Dij|/Lij .

L'équation de la droite (d) s'écrit finalement Kx.x + Ky.y = 1 , avec

Kx = 1/a = -Sin(θ)/h = -(yi - yj)/|Dij| , Ky = 1/b = Cos(θ)/h = (xi - xj)/|Dij| .

Pour la droite (d') symétrique de la précédente par rapport à l'origine (O), les paramètres prennent des valeurs opposées (a' = -a , b' = -b) et conduisent à l'équation: (x/a) + (y/b) = -1 . Ainsi apparaît le second terme évoqué dans les précédents échanges.

Merci de me signaler les éventuelles erreurs de calcul.

Dernière modification par Wiwaxia (19-01-2021 13:09:57)

Hors ligne

#57 19-01-2021 17:27:13

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 403

Re : Des équations et des cubes

Bonsoir à tous !

Ah oui, + ou - 19, il faut choisir, j'ai tapé trop vite, et c'était tard ... Bon, cette discussion entraîne beaucoup de digressions, où en est-on ?

Si j'ai commencé avec un cube, c'est pour échanger sur les techniques possibles pour trouver des équations de polyèdres. Mais pas forcément que ça ... J'ai tout un tas de curiosités concernant des figures du plan, extensibles à l'espace ... j'ai même des "figures rayonnantes" pour plus tard !

J'utilise surtout GeoGebra 3D, mais version 5, j'aime  beaucoup moins la version 6, pour la facilité de création ... Et toi ? J'utilise de temps en temps Surfer, mais le manque de la fonction valeur absolue est pour moi énorme, sauf si je passe à mes "acolytes en puissances", je peux parfois l'utiliser.

Il FAUT aussi que j'arrive à passer des figures sur bibmath ! MAIS je vais bientôt essayer de passer des "Cjoint" pour des textes Word, et des fichiers GeoGebra. Si avec le lien on peut voir le doc Word ou GeoGabra, ça serait déjà très bien, donc je vais essayer bientôt, pour des docs en cours !

Alors tes programmes sont en Pascal ! Eh bien j'en prend plein la figure quand je pense que je l'ai enseigné (basiquement) il y a ... 25 ans ! Et depuis, je ne l'ai pas utilisé ! Bof ?

Bon, actuellement, nous tournons autour d'équations de polygones ... je voulais montrer diverses méthodes ... et il en reste ... que je n'ai pas toutes essayées ! Donc discussion à suivre ?

Pour une autre méthode, utiliser le régionnement du plan par une droite (ou autre courbe !), sachant que pour une équation f(x,y) = ax + bt + c = 0,  d'un côté f(x,y) < 0 et de l'autre f(x,y) > 0. Alors on calcule g(x,y) = f(x,y) + ou - Abs(f(x,y)) !

Alors d'un côté c'est nul (c'est bon pour nous), et de l'autre on a 2 fois f(x,y) ... VU ? A tester ! Et ça doit marcher pour des lignes polygonales ouvertes, mais convexes, éventuellement avec des courbes ...

Bon, à plus tard, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (19-01-2021 17:57:04)

Hors ligne

#58 20-01-2021 08:57:05

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Des équations et des cubes

Bonjour,

Bernard-maths a écrit :

...  cette discussion entraîne beaucoup de digressions, où en est-on ? ...

À la réalisation de l'algorithme faisant apparaître un domaine polygonal muni d'un centre de symétrie, à partir de ses (N/2) premiers sommets.
Je poursuis la même idée, celle que tu as exprimée lors de ta première intervention et que j'essaie progressivement de développer (# 2, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 47, 53, 56).
La mule est mon animal fétiche: elle chemine lentement mais garde la même allure.

Bernard-maths a écrit :

...  Pour une autre méthode, utiliser le régionement du plan par une droite (ou autre courbe !), sachant que pour une équation f(x,y) = ax + bt + c = 0,  d'un côté f(x,y) < 0 et de l'autre f(x,y) > 0. Alors on calcule g(x,y) = f(x,y) + ou - Abs(f(x,y)) !  ...

Je pense (mais ce sera à confirmer) qu'il faut recourir aux fonctions suivantes, selon quel'on se situe
a) dans le plan: F(x, y) = |ax + by - 1| + |ax + by + 1| - 2 ,
b) dans l'espace F(x, y, z) =  |ax + by + cz - 1| + |ax + by + cz + 1| - 2 ,
les coefficients réels (a, b, c) étant déterminés à partir des coordonnées des 2 ou 3 sommets appartenant au contour de la face plane considérée.
La délimitation du domaine (le "régionnement du plan", comme tu l'écris) découle de l'équation: F1 + F2 + ... = 0 .
Le défaut de mes programmes rédigés jusque là, c'était l'utilisation exclusive de variables entières, à l'origine de leur manque de maniabilité.

Bernard-maths a écrit :

...  Il FAUT aussi que j'arrive à passer des figures sur bibmath !   ...

Cela se résiume pour l'essentiel à l'instruction: [img]Adresse-url_de_l_image[/img] . Relire le mode d'emploi #28.

Bernard-maths a écrit :

...  Si avec le lien on peut voir le doc Word ou GeoGabra, ça serait déjà très bien, donc je vais essayer bientôt, pour des docs en cours !  ...

Tu aurais intérêt à passer tes documents sous le format Pdf.

Bernard-maths a écrit :

...  J'utilise surtout GeoGebra 3D, mais version 5, j'aime  beaucoup moins la version 6, pour la facilité de création ... Et toi ? J'utilise de temps en temps Surfer  ...

GeoGebra, que j'ai un peu regardé, semble présenter beaucoup de ressources intéressantes; il faudra que je le consulte d'une manière plus approfondie.
Surfer présente des limitations assez strictes, mais se prête à des réalisations franchement délirantes: il vaut mieux en parler dans une autre discussion.
POV Ray permet la représentation de polyèdres creux à l'aide de sphères et de cylindres, mais demande un investissement conséquent; on peut aussi en discuter ailleurs.

Bernard-maths a écrit :

...  Alors tes programmes sont en Pascal ! Eh bien j'en prend plein la figure quand je pense que je l'ai enseigné (basiquement) il y a ... 25 ans ! Et depuis, je ne l'ai pas utilisé !  ...

Je programme en Pascal depuis plus de trente ans.
La vénérable version d'origine (Turbo P.), malgré ses limitations en espace mémoire et en couleurs que je ne supporte plus, permettait déjà des réalisations étonnantes (parcours optimaux du voyageur de commerce, assemblage de N sphères autour d'une sphères centrale en 3D ou 4D);
La meilleure version (toujours mise à jour) est Free Pascal; j'utilise Virtual Pascal, dépourvu d'unité graphique, mais avec laquelle j'ai appris à manipuler les images Bitmap; je suis sur ce point autonome, et ne recours pas aux boîtes noires disponibles sur la Toile.

Bernard-maths a écrit :

...  Donc discussion à suivre ?  ...

Si tu veux bien ... Je commence la rédaction du programme source qui reprend la dernière mise au point.

Ma chi va piano va sano e va lontano.

Dernière modification par Wiwaxia (20-01-2021 17:40:56)

Hors ligne

#59 20-01-2021 18:03:29

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Des équations et des cubes

Bernard-maths a écrit :

... 'on est dans un repère du plan d'origine C, et que les coordonnées des points sont : A1(5,-1), A2(4,3), A3(2,4), A4(-5,1), A5(-4,-3) et A6(-2,-4) ...

C'est chose faite.

KAurQ38H4A0_Hexagone-sym%C3%A9trique.png

Le tracé des arêtes, le pointage des sommets sont indépendants du repérage du domaine polygonal.


 PROGRAM Xxxxxx;

 USES Crt, E_Texte, U_Copie_1F, U_Math;

 CONST Ns2 = 3; Nsomm = 2 * Ns2;

 TYPE Tab_E = ARRAY[1..Nsomm] OF Z_32;
      Ve_2E = RECORD  x, y: Z_32  END;
      Tab_V = ARRAY[1..Nsomm] OF Ve_2E;

 CONST LstX: Tab_E = ( 5, 4, 2, -5, -4, -2);
       LstY: Tab_E = (-1, 3, 4,  1, -3, -4);

 VAR Polygone: Tab_V;

(*HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

 Trac‚ des sommets

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH*)

 PROCEDURE Croix(L_1, H_1, Xc, Yc, Lc: Z_32; VAR Ma2: Tab_Pix);
   CONST CoulS: Pixel = (255, 50, 50);
   VAR x, Xmax, Xmin, y, Ymax, Ymin: Z_32;
   BEGIN
     Xmin:= Xc - Lc; IF (Xmin<0)   THEN Xmin:= 0;
     Xmax:= Xc + Lc; IF (Xmax>L_1) THEN Xmax:= L_1;
     Ymin:= Yc - Lc; IF (Ymin<0)   THEN Ymin:= 0;
     Ymax:= Yc + Lc; IF (Ymax>H_1) THEN Ymax:= H_1;
     FOR x:= Xmin TO Xmax DO Ma2[x, Yc]:= CoulS;
     FOR y:= Ymin TO Ymax DO Ma2[Xc, y]:= CoulS
   END;

 PROCEDURE Trace_S(La, Ha: Z_32);
   VAR k: Byte; Ha1, La1: Z_32;
   BEGIN
     La1:= La - 1; Ha1:= Ha - 1;
     FOR k:= 1 TO Nsomm DO
       Croix(La1, Ha1, Polygone[k].x, Polygone[k].y, 20, Matrice_2)
   END;

(*HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

 Trac‚ des arˆtes

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH*)

 PROCEDURE Segment(X1, Y1, X2, Y2: Z_32; VAR Ma2: Tab_Pix);
   CONST CoulA: Pixel = (50, 255, 50);
   VAR Dx, Dy, k, Np, Xm, Ym: Z_32; Kx, Ky: Reel;
   BEGIN
     Dx:= X2 - X1; Dy:= Y2 - Y1;
     Np:= 1;       Inc(Np, Abs(Dx)); Inc(Np, Abs(Dy));
     Kx:= Dx / Np; Ky:= Dy / Np;
     FOR k:= 0 TO Np DO
       BEGIN
         Xm:= X1; Inc(Xm, Round(k * Kx));
         Ym:= Y1; Inc(Ym, Round(k * Ky));
         Ma2[Xm, Ym]:= CoulA
       END
   END;

 PROCEDURE Trace_A;
   VAR i, j: Byte;
   BEGIN
     FOR i:= 1 TO Nsomm DO
       BEGIN
         j:= i MOD Nsomm; Inc(j);
         Segment(Polygone[i].x, Polygone[i].y,
                 Polygone[j].x, Polygone[j].y, Matrice_2)
       END
   END;

(*HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

 Domaine du polygone

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH*)

 TYPE Ve2R = RECORD Cx, Cy: Reel  END;
      Tab_Kxy = ARRAY[1..Ns2] OF Ve2R;

 VAR Xcen, Ycen: Z_32; Lst_Cxy: Tab_Kxy;

 FUNCTION Fxy(Kx, Ky: Reel; x, y: Z_32): Reel;
   VAR p, q, r: Reel;
   BEGIN
     p:= Kx * x;     q:= Ky * y;     r:= p + q;
     p:= Abs(r - 1); q:= Abs(r + 1); r:= p + q;
     Result:= r - 2
   END;

 PROCEDURE Calc_Mat_Im2(La, Ha, Xc, Yc: Z_32; VAR Ma2: Tab_Pix);
   CONST Seuil = 1E-9;
         Pzero: Pixel = (0, 0,   0);
         Cfond: Pixel = (0, 0, 255);
   VAR k: Byte; X1, Xm, Y1, Ym: Z_32; s: Reel; Px: Pixel;
   BEGIN
     FOR Xm:= 0 TO (La - 1) DO
       BEGIN
         X1:= Xm - Xc;
         FOR Ym:= 0 TO (Ha - 1) DO
           BEGIN
             Y1:= Ym - Yc; s:= 0;
             FOR k:= 1 TO Ns2 DO
               IncR(s, Fxy(Lst_Cxy[k].Cx, Lst_Cxy[k].Cy, X1, Y1));
             IF (S<Seuil) THEN Px:= Cfond ELSE Px:= Pzero;
             Ma2[Xm,Ym]:= Px
           END
       END
   END;

 PROCEDURE Calc_Coef(Xc, Yc: Z_32; VAR Pol_: Tab_V; VAR L_Cxy: Tab_Kxy);
   VAR i, j: Byte; Dij, Dx, Dy, p, q: Z_32;
   BEGIN
     FOR i:= 1 TO Ns2 DO
       BEGIN
         j:= i + 1;
         Dx:= Pol_[i].x - Xc; Dy:= Pol_[j].y - Yc; p:= Dx * Dy;
         Dx:= Pol_[j].x - Xc; Dy:= Pol_[i].y - Yc; q:= Dx * Dy;
         Dij:= p - q;
         L_Cxy[i].Cx:= (Pol_[j].y - Pol_[i].y) / Dij;
         L_Cxy[i].Cy:= (Pol_[i].x - Pol_[j].x) / Dij
       END
   END;

(*HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

 Initialisation du polygone

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH*)

 PROCEDURE Init_Pol(La, Ha: Z_32; VAR X_c, Y_c: Z_32; VAR Pol_: Tab_V);
   CONST Fech = 60;
   VAR k: Byte; Xc, Yc, z: Z_32;
   BEGIN
     Xc:= La DIV 2; X_c:= Xc;
     Yc:= Ha DIV 2; Y_c:= Yc;
     FOR k:= 1 TO Nsomm DO
       WITH Pol_[k] DO BEGIN
                         z:= LstX[k] * Fech; x:= Xc + z;
                         z:= LstY[k] * Fech; y:= Yc + z
                       END
   END;

(*HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

 Programme principal

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH*)

 BEGIN
   Copie_F1; Init_Pol(Larg_Image, Haut_Image, Xcen, Ycen, Polygone);
   Calc_Coef(Xcen, Ycen, Polygone, Lst_Cxy);
   Calc_Mat_Im2(Larg_Image, Haut_Image, Xcen, Ycen, Matrice_2);
   Trace_A;  Trace_S(Larg_Image, Haut_Image);
   Creation_F2
 END.

Hors ligne

#60 20-01-2021 20:25:14

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 403

Re : Des équations et des cubes

Bonsoir !

Wiwaxia, je vois que tu t'amuses bien avec tes programmes !

Moi j'ai du mal à te suivre ... mais continue à ta manière ...

Moi, je suis en train d'écrire un document sur l'équation du cuboctaèdre, je l'envoie demain par Cjoint.

Je fais les docs GeoGebra qui vont avec ... demain ?

Bonne nuit (ne nuit pas) !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (20-01-2021 20:26:27)

Hors ligne

#61 20-01-2021 22:02:45

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Des équations et des cubes

Bonsoir,

Voici les 3 bandes à bords parallèles dont l'intersection constitue la zone hexagonale:

KAuu5FlJs70_Hex-Kf-=-2.500.png

La transposition du procédé à un polyèdre ne pose pas de problème théorique; sa représentation par contre est beaucoup plus ardue,car il faut envisager la projection du solide sur un plan d'orientation quelconque, et définir une couleur locale en fonction de la normale à la surface considérée.

Cordialement,
Wiwaxia.

Hors ligne

#62 21-01-2021 10:12:44

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Des équations et des cubes

Bonjour,

Dans le repère associé au cuboctaèdre centré sur l'origine, les 12 sommets admettent pour coordonnées respectives:

A(h, h, 0)        B(h, 0, h)        C(h, -h, 0)        D(h, 0, -h)
E(0, h, h)        F(0, -h, h)       G(0, -h, -h)       H(0, h, -h)
A'(-h, h, 0)      B'(-h, 0, h)      C'(-h, -h, 0)      D'(-h, 0, -h)

KAvi1vDrYZ0_Cubocta%C3%A8dre+Rep%C3%A8re.png

Le solide possède un centre de symétrie (O), de sorte que les faces sont deux à deux parallèles.

Il y a en effet
a) trois paires de faces carrées
# ABCD (et A'B'C'D'), vérifiant l'équation x = ±h ;
# AHA'E (et CGC'F), vérifiant l'équation y = ±h ; 
# BEB'F (et DHD'G), vérifiant l'équation z = ±h ;
et auxquelles on peut associer les fonctions:
F1(x, y, z) = |x/h - 1| + |x/h + 1| - 2 ,
F2(x, y, z) = |y/h - 1| + |y/h + 1| - 2 ,
F3(x, y, z) = |z/h - 1| + |z/h + 1| - 2 ;

b) quatre paires de faces triangulaires
# AEB (et C'GD'), vérifiant l'équation x + y + z = ±2h ;
# BFC (et D'HA'), vérifiant l'équation x - y + z = ±2h ;
# CGD (et A'EB'), vérifiant l'équation z - x + y = ±2h ;
# DHA (et B'FC'), vérifiant l'équation y - z + x = ±2h ;
et auxquelles on peut associer les fonctions:
F4(x, y, z) = |(x + y + z)/2h - 1| + |(x + y + z)/2h + 1| - 2 ,
F5(x, y, z) = |(x - y + z)/2h - 1| + |(x - y + z)/2h + 1| - 2 ,
F6(x, y, z) = |(z - x + y)/2h - 1| + |(z - x + y)/2h + 1| - 2 ,
F7(x, y, z) = |(y - z + x)/2h - 1| + |(y - z + x)/2h + 1| - 2 .

La surface du polyèdre admet donc pour équation:

F(x, y, z) =  F1(x, y, z) + F2(x, y, z) + F3(x, y, z) + F4(x, y, z) + F5(x, y, z) + F6(x, y, z) + F7(x, y, z) = 0 .

Pour ce qui est de sa représentation, c'est une autre paire de manches ...

Dernière modification par Wiwaxia (21-01-2021 10:44:23)

Hors ligne

#63 21-01-2021 12:28:42

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 403

Re : Des équations et des cubes

Bonjour, à tous !

Waouh, Wiwaxia, tu te défoules !

Très belles couleurs "complémentaires". Et belle formule ensuite !

Tu verras qu'on peut la réduire entaille, avec "Mathcurve" ...


Pour ma part, j'ai écrit un PDF pour justifier l'équation du site "Mathcurve", et utilisé un doc GeoGra pour illustrer.

J'envoie les 2 liens créés avec "Cjoin", on va voir ce qui marche !!!


Pour le PDF :
https://www.cjoint.com/c/KAvmulI0x8V

Et pour GeoGebra :
https://www.cjoint.com/c/KAvmvGs7E2V

A toi de tester si ça passe, et ce que ça donne, MERCI !

Bernard-maths.


PS : ça fonctionne pour moi ! Mais les autres ?

On va faire une hécatombe d'équations !?

Dernière modification par Bernard-maths (21-01-2021 12:37:25)

Hors ligne

#64 21-01-2021 14:13:21

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Des équations et des cubes

Le premier lien conduit au document en deux clics; peut-être pouvait tu donner un lien plus direct, pointant sur l'adresse de l'image ?

https://www.cjoint.com/doc/21_01/KAvmul … -01-21.pdf

Après expérimentation, ça marche !

Quand au second, je ne sais pas ouvrir un fichier ggb.

Une copie d'écran (technique à laquelle je suis rôdé) fournit une image de bonne qualité.

Dans ton texte, je n'ai pas compris d'où viennent les termes irrationnels (√2, √3) - je n'ai pas eu le temps d'approfondir ...

Dernière modification par Wiwaxia (21-01-2021 14:24:14)

Hors ligne

#65 21-01-2021 15:19:53

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 403

Re : Des équations et des cubes

Bonjour ... encore, vu l'heure !

Si ax + by + cz + d = 0 est l'équation d'un plan, la distance de M(x,y,z) au plan est Abs(ax + by + cz + d) / Racine(a² + b² + c²) ... !

Si ax + by + c = 0 est l'équation d'une droite, la distance de M(x,y) à la droite est Abs(ax + by + z) / Racine(a² + b²) ... !

Programmes de 1ère, je crois me souvenir, ou terminale au moins. En tout cas, ça marche bien !


Je vais continuer les équations, au hasard de mes envies ...

A plus, Bernard-maths

------------------------------------------------
[EDIT]@yoshi 
Et pourquoi ne pas écrire en utilisant le Code Latex ?

Si ax + by + cz + d = 0 est l'équation d'un plan, la distance de M(x,y,z) au plan est $\dfrac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ ... !

Si ax + by + c = 0 est l'équation d'une droite, la distance de M(x,y) à la droite est $\dfrac{|ax + by + c |}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ ... !

L'essayer, c'est l'adopter !

Dernière modification par yoshi (21-01-2021 16:35:30)

Hors ligne

#66 21-01-2021 15:36:09

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Des équations et des cubes

Dans le cas du cube, de l'octaèdre et d'un certain nombre de solides apparentés, il est plus simple de faire intervenir l'une des coordonnées (ici h).

Dans le cas du cuboctaèdre, les distances sont effectivement:

d1 = h/√2 ; d2 = (2/3)h√3 = 2h/√3 .

Dernière modification par Wiwaxia (21-01-2021 16:07:56)

Hors ligne

#67 21-01-2021 17:28:40

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 403

Re : Des équations et des cubes

Bonsoir !

Merci Yoshi, il faut que je m'y mette ! C'est plus joli ...

Wiwaxia, j'ai repris les coordonnées de Mathcurve, et on retrouve la même équation !

A plus, Bernard-maths

Hors ligne

#68 21-01-2021 18:02:07

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 070

Re : Des équations et des cubes

RE,

Merci Yoshi, il faut que je m'y mette ! C'est plus joli ...

Et c'est utile pour un  matheux, plus directement lisible.
Ce n'est même pas un langage de programmation, c'est juste un ensemble de mnémoniques  qui mises ensemble constituent une formule...
LA chose peut-être la plus importante à se souvenir : le navigateur a besoin de savoir où commence la formule et où elle s'arrête : c'est le rôle des balises tex (barre d'outils des messages, à  gauche) soit depuis que j'ai écrit la page, on peut aussi bien encadrer les formules avec un dollar au début et un à la fin...
Et toutes les mnémoniques commençant par  \, la combinaison Alt Gr + 8 est mise à contribution plus d'une fois...
Je compte 1/2 h pour lire la page et essayer de comprendre la "philosophie" de Latex...
Après, c'est juste une question d'entraînement et de mémorisation (sur le forum, disons 30 mnémoniques grand maximum, pas la mer à boire...)

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#69 21-01-2021 19:23:05

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Des équations et des cubes

Bernard-maths a écrit :

... j'ai repris les coordonnées de Mathcurve, et on retrouve la même équation ! ...

Je ne dis pas que c'est faux, mais seulement que c'est moins simple (dans le cas tout au moins du cuboctaèdre).
Les données les plus immédiates dans le problème actuel, ce sont les coordonnées des sommets.

Dernière modification par Wiwaxia (22-01-2021 10:53:54)

Hors ligne

#70 22-01-2021 16:37:07

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 403

Re : Des équations et des cubes

Bonsoir à tous !

Dans Mathcurve, ils ont pris d'abord un cube, et appelé b le demi côté. Pour retrouver la même équation, j'ai repris b ... selon ce contexte.

pour toi, il est peut être plus simple de faire autrement, ça dépend du ... contexte que l'on ressent.

Je suis en train de me défouler sur le tétraèdre régulier, qui devrait me permettre de trouver une équation du cuboctaèdre, et peut être du cube ? autrement ... je ferai alors un changement de variable pour retrouver le ... b !

Donc on va aller doucement ... Chi va piano va sano, e chi va sano va lontano. Quelqu'un a dit ça un jour ... Italien ?

Moi je dis, mais c'est critiquable ... on est mieux assis que debout, on est mieux couché qu'assis, on est mieux en dormant qu'éveillé, et finalement, on est mieux mort que vivant ???

Sur cette joyeuseté, bonne soirée,

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (22-01-2021 16:39:22)

Hors ligne

#71 25-01-2021 19:56:01

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 403

Re : Des équations et des cubes

Bonsoir à tous !

Je viens de terminer un document sur le tétraèdre. On y considère 2 équations sur ce tétraèdre : plein ou "en surface";

Ainsi que 2 documents associés de GeoGebra.

Voici les 3 liens pour Cjoint :

https://www.cjoint.com/c/KAztVkPFOYV
pour le doc pdf,


https://www.cjoint.com/c/KAzthl1I7nV
pour "le plein",


https://www.cjoint.com/c/KAztisnGWHV
pour "la surface".


PS : je viens de tester, ça fonctionne, pour moi !
En espérant que ça fonctionne bien !

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (25-01-2021 19:58:46)

Hors ligne

#72 26-01-2021 19:23:38

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 403

Re : Des équations et des cubes

Bonsoir à tous ! Voici une lettre sur mes objectifs à poursuivre !

Certains qui suivent cette discussion peuvent se demander où on en est, et ce qui a été (dé)montré …
Voici quelques explications.

J’ai fait pas mal de recherches diverses en géométrie, plane au début, puis poursuivies dans l’espace. Si je peux continuer tranquillement, je vous en ferai part, petit à petit. Je suis intéressé par les équations, peu ou pas connues, de figures connues ou nouvelles, c'est-à-dire fabriquées (un peu à la demande).

J’ai donc « attaqué » cette discussion avec une formule du cube, qui attire « les curieux ». Comme en fait, je suis loin d’avoir tout écrit en détail, cette discussion me permet de le faire, avec les idées et échanges des participants !

Le but que je poursuis est de trouver des méthodes pour trouver des équations dans le cas général, et non pas dans des situations particulières du type « basique ou canonique ». La plupart du temps les figures sont placées dans une position « bien choisie » dans un repère … « Mon cube du début » est centré sur l’origine, et ses faces parallèles aux axes …
Moi je veux pouvoir calculer une équation de cube, quelle que soit sa position dans le repère. Evidement il ne faut pas rêver, et il faut s’attendre à obtenir des équations à rallonge ! Allez voir sur Mathcurve, ou sur Surfer, et vous en verrez !!!

Dans une discussion de découverte, les idées des uns et des autres se croisent, s’ajoutent ou s’opposent, selon les connaissances (et les envies) des participants … Je remercie particulièrement Wiwaxia, qui me supporte (aux 2 sens du terme), puisqu’il traduit et complète mes idées avec de beaux dessins piochés ou fabriqués … je remercie aussi les autres pour leurs conseils … Je pense entre autres aux discussions #6, 1, 14, 17, 21, 25, 35 pour les figures ; aussi #38 et suivantes pour la programmation (où il se défoule ? Et moi je plane pas mal ...), 44, 53, 61 avec les belles couleurs qui font ressortir l’approche par bandes de plan …

Bon ! J’ai donc poursuivi, après avoir finalement concrétisé des démonstrations, j’ai publié un document sur des équations du tétraèdre, avec 2 docs GeoGebra, le tout à charger par « cjoint », voilà encore un truc que j’ai appris, et mis en pratique !
Je vais continuer en reprenant le cube, puis d’autres … Merci encore, Bernard-maths.

Dernière modification par Bernard-maths (26-01-2021 19:30:35)

Hors ligne

#73 27-01-2021 15:12:59

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Des équations et des cubes

Bernard-maths a écrit :

… Je remercie particulièrement Wiwaxia, qui me supporte (aux 2 sens du terme), puisqu’il traduit et complète mes idées avec de beaux dessins piochés ou fabriqués …

L'agrément est partagé, parce que ton approche géométrique m'a permis de découvrir les équations aux valeurs absolues dont je n'avais qu'une connaissance très anecdotique, et qui gardent une simplicité surprenante en l'absence d'un centre de symétrie. C'est apparemment le chemin d'accès privilégié à la représentation d'une surface continue, résultant de l'assemblage de portions planes.

Bernard-maths a écrit :

... Moi je veux pouvoir calculer une équation de cube, quelle que soit sa position dans le repère. Evidemment il ne faut pas rêver, et il faut s’attendre à obtenir des équations à rallonge ! ...

C'est aussi pour chacun une nécessité incontournable: seule une vue en perspective appropriée permet d'apprécier la forme réelle d'un objet..
Quand à la complexité des calculs, la programmation s'en charge: il est sans intérêt (et royalement assommant) de développer les résultats consécutifs à une rotation dans l'espace.
À ce stade faudrait-il peut-être que tu choisisses de t'investir dans un langage autre que Geogebra (dont tu es déjà familier): Python (il y a des experts sur ce site), Pascal (dont les rudiments te reviendront très vite), Scilab (?), POV Ray ... il faudrait connaître les possibilités picturales de chacun des logiciels.

# La définition d'un polyèdre convexe comportant (N) sommets et (F) faces suppose la connaissance
- des (N) vecteurs définissant la position des sommets,
- des (F) vecteurs unitaires normaux à chacune des faces,
ainsi que de le tableau des (A) arêtes mentionnant les sommets (i, j) reliés, et les faces (k,l) qu'elles séparent.
Faces et arêtes peuvent se déduire de l'ensemble des sommets par un algorithme monstrueux, mais heureusement contournable par un inventaire visuel dans les cas les plus simples.
Le polyèdre est ainsi caractérisé par une sorte d'"oursin", tableau de (N + F) vecteurs que l'on peut éventuellement faire tourner dans l'espace.

# Deux procédés permettent d'envisager une mise en perspective de l'objet:
a) deux rotations successives autour d'un premier axe (par ex. y'y) puis d'un deuxième (par ex. z'z), suivie d'une projection orthogonale parallèlement au troisième (x'x) correspondent au produit de la matrice initiale (M) par deux matrices de rotation (ici Ry, Rz) d'expression très simple (matrices 3 ×3 à 9 éléments réels):

M' = Rz*(Ry*M) ;

le tracé des arêtes est alors immédiat; la coloration des faces demande un inventaire de triangles;
b) la mise en place d'un "observateur" (la caméra virtuelle visionnant les "scènes 3D"), dont l'orientation spatiale est définie par deux coordonnées géographiques, permet la projection orthogonale du polyèdre étudié sur un plan mobile; elle apparaît bien adaptée au cas présent, où l'équation de la surface est déterminée une fois pour toutes.

# Il se trouve qu'après téléchargement de la dernière version (7.04) de LibreOffice, j'ai découvert la fonction permettant l'utilisation rapide des instructions LaTex (Insertion/Objet/Formule), ce qui m'a permis d'entreprendre la rédaction d'un nouveau texte; j'y ai consacré l'après-midi du samedi (sans compter les corrections qui ont suivi), bien que la syntaxe de ce langage soit paraît-il simple et évidente - il s'agit sans doute là de l'optimisme avec lequel on entretient le moral des armées.
La mise en ligne sera faite dès que possible.

Dernière modification par Wiwaxia (28-01-2021 07:46:43)

Hors ligne

#74 30-01-2021 16:55:33

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Des équations et des cubes

Hors ligne

#75 30-01-2021 17:11:09

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Des équations et des cubes

KAEq40WEvmx_B2-Poly%C3%A8dre-+-Plan-image-02.png
KAFgMG0rtAx_Texte-B.png
KAEre1Ib2Vx_B3-Section-plane.png

Texte au format pdf:
https://www.cjoint.com/doc/21_01/KAFgOt … %A8dre.pdf

Dernière modification par Wiwaxia (31-01-2021 06:45:32)

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
trente cinq moins
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums