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#1 31-12-2020 10:43:45

Bernard-maths
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Des équations et des cubes

Bonjour à tous ! Je suis nouveau sur Bibm@th, j’étais prof de maths, et j’ai 75 ans. Internet ne m’apporte pas toujours les réponses que j’attends, alors je cherche et trouve des trucs amusants … Je vous propose de les partager, et vous me direz ce que vous en pensez, et surtout si vous avez déjà vu quelque chose du même genre, et où !

J’ai plusieurs approches possibles, mais pour cette fois je vous propose une équation de cube basée sur une propriété du carré … bon amusement ? Alors, le cube, une première équation vite fait ?

On considère un cube ABCDEFGH de centre O, origine d’un repère orthonormé de l’espace. Si a est un nombre positif, les 8 sommets ont pour coordonnées (± a, ± a, ± a), avec A (a,a,a), B(-a,a,a), etc ... ABCD est la face « du dessus » et EFGH celle « du dessous ». Pouvez-vous expliquer pourquoi une équation cartésienne du cube, en 3 facteurs,  est :    

(||x-a|+|x+a|+|y-a|+|y+a|-4a|+||z|-a|) (||y-a|+|y+a|+|z-a|+|z+a|-4a|+||x|-a|) (||z-a|+|z+a|+|x-a|+|x+a|-4a|+||y|-a|) = 0   ?

Pour ceux qui bloquent un peu … voici un cheminement possible :

Sur la face supérieure ABCD, plaçons un point M à l’intérieur. M se projette en H sur [AB], en I sur [BC], en J sur [CD] et en K sur [DA]. Montrer que : (MH + MJ) + (MI + MK) = 4a. Vérifier que c’est vrai aussi sur le carré (périmètre), mais que à l’extérieur on a :
MH + MJ + MI + MK > 4a. Quand je dis extérieur, cela veut dire 1) dans le plan du carré MAIS en-dehors, 2) en-dehors du plan du carré (dessus ou dessous) ...

MH + MJ + MI + MK = 4a est donc une équation du carré plein !

En déduire l’équation cartésienne suivante de ABCD :     ||x-a| + |x+a| + |y-a| + |y+a| - 4a|+ |z - a|  = 0.

Merci pour vos commentaires ...

Portez-vous bien, et Bonne Année 2021 à tous, Bernard-maths.

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#2 01-01-2021 14:20:12

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bonjour,

Bernard-maths a écrit :

Pouvez-vous expliquer pourquoi une équation cartésienne du cube, en 3 facteurs,  est :   

(||x-a|+|x+a|+|y-a|+|y+a|-4a|+||z|-a|) (||y-a|+|y+a|+|z-a|+|z+a|-4a|+||x|-a|) (||z-a|+|z+a|+|x-a|+|x+a|-4a|+||y|-a|) = 0   ?

L'intervention d'un produit symétrique du type F(x, y, z)*F(y, z, x)*F(z, x, y) = 0
avec permutation cyclique des coordonnées suggère chaque terme F(u, v, w) successivement défini par rapport aux 3 directions de l'espace.

Le premier terme s'écrit: F(x, y, z) = |G(x, y)| + |H(z)| .

Qu'il soit éventuellement nul (c'est l'une des trois conséquences possibles de la première équation) implique:

G(x, y) = 0 ET H(z) = 0 ;

a) G(x, y) = 0 implique |x-a|+|x+a|+|y-a|+|y+a| = 4a soit: M(x) + M(y) = 0 en convenant de prendre

M(u) =  |u - a| + |u + a| - 2a;

# pour (x < -a) , on a: (x + a) < 0 d'où: |x + a| = -(x + a) , (x < +a) d'où: (x - a) < 0 et |x - a| = -(x - a)  , il vient dans ce cas: M(x) = -x - a - x + a - 2a = -2(x + a) = , d'où M(x) > 0 ;
# pour (-a ≤ x ≤ +a), il vient: (x + a) ≥ 0 et (x - a) ≤  0 , d'où: |x + a| = (x + a) et |x - a| = -(x - a) ,
ce qui donne dans ce cas: M(x) = (x + a) - (x - a) -2a = 0 ;
# pour (a < x), on a: (x - a) > 0 d'où: |x - a| = (x - a)  , (x > -a) d'où: (x + a) > 0 et |x + a| = (x + a) , il vient alors:  M(x) = (x + a) + (x - a) - 2a = 2(x - a) , d'où: M(x) > 0 .
Résultats analogues vis à vis de la variable (y).

G(x, y) apparaît ainsi comme la somme de deux termes non négatifs: G(x) = M(x) + M(y);
l'égalité G(x, y) = 0 implique donc M(x) = 0 ET M(y) = 0 , soit: (-a ≤ x ≤ +a) ET (-a ≤ y ≤ +a).

b) H(z) = 0 implique |z| = a , soit: z = ± a , équations de deux plans parallèles à (xOy), et distants de (a).

Par conséquent l'égalité F(x, y) = 0 entraîne que le point M(x, y, z) considéré appartient à l'une des deux faces (ABCD, EFGH) du cube parallèles à (xOy).

F

§ D'une manière analogue, F(y, z, x) = 0 implique G(y, z) = 0 ET H(x) = 0 , donc

(-a ≤ y ≤ +a) ET (-a ≤ z ≤ +a) ET x = ± a ;

le point appartient à l'une des deux faces carrées (ABFE) ou (CDHG) ;

§ De même, F(z, x, y) = 0 implique G(z, x) = 0 ET H(y) = 0 , donc

(-a ≤ z ≤ +a) ET (-a ≤ x ≤ +a) ET y = ± a ;

le point appartient à l'une des deux faces carrées (BCGF) ou (ADHE) .

L'ensemble des points vérifiant la solution donnée correspond bien à la surface frontière du cube centré en (O), d'arêtes parallèles aux axes et de longueur (2a).

Bonne année à tous.

Dernière modification par Wiwaxia (01-01-2021 14:22:08)

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#3 01-01-2021 17:20:17

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonsoir Wiwaxia ! Pour tout dire je t'attendais bien comme "premier client" à résoudre mon énoncé ... car tu es sur tous les fronts.

Ton analyse est bien correcte, mais un peu "ésotérique" pour les moins matheux. C'est pour cela que j'indiquais un cheminement possible, qui reprend en fait ma démarche intellectuelle pour trouver cette équation ...

Je vais laisser encore un peu de temp pour ceux qui voudraient encore chercher à décortiquer cet énoncé, et j'enverrai "la" solution dans 2 jours. En attendant, j'ai 3 questions à te poser, s'il te plaît :


1) as-tu déjà rencontré ce genre d'équation, pour le cube, ou un autre polyèdre ? Car je vais aller dans ce sens, à ma façon ...

2) J'ai vu qu'un certain monsieur ROTARU Paul, phD en fac aux USA, a écrit un article de 12 pages sur la revue (épuisée) QUADRATURE n° 64 en 2007, parlant de méthodes générales pour les équations de polyèdres, et plus, MAIS je n'ai jamais pu obtenir ce texte, je tourne en rond dans les recherches ... Pourrais-tu l'obtenir ? Je pense être sur le même genre de voies que lui, mais je me suis bien amusé à chercher ce que je vous expose, et je voudrais savoir ce qu'il en est réellement !!!

3) Enfin quel logiciel utilises-tu pour faire les beaux dessins que tu mets ? Perso j'utilise GeoGebra 5, et je vais mettre mes dessins en libre accès sur leur site, ce sera plus facile pour communiquer !?

Voilà, merci pour ta 1ère réponse, et tes 3 réponses à venir ...

Cordialement, Bernard-maths

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#4 01-01-2021 23:54:21

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bonjour Bernard-maths,

Bernard-maths a écrit :

... 1) as-tu déjà rencontré ce genre d'équation, pour le cube, ou un autre polyèdre ? Car je vais aller dans ce sens, à ma façon ...

C'est possible, mais je ne m'y suis pas arrêté car cela me paraissait très théorique, assez difficile et ne correspondait pas à mon approche des polyèdres inscriptibles dans une sphère (lors de la résolution du problème de Tammes, par exemple).
Je crois me rappeler que la notion de polyèdre peut être construite sur une recherche d'optimisation; et en ce qui concerne le présent sujet, j'aurais choisi volontiers la relation Max(|x|, |y|, |z|) = a .
Il est sans doute possible de généraliser ton procédé, à condition de disposer de la liste des normales aux faces;
et des complications redoutables risquent de surgir, pour un plus grand nombre de sommets - et aussi pour le tétraèdre, dépourvu de centre de symétrie ... à voir.

Bernard-maths a écrit :

... un article de 12 pages sur la revue (épuisée) QUADRATURE n° 64 en 2007, parlant de méthodes générales pour les équations de polyèdres, et plus, MAIS je n'ai jamais pu obtenir ce texte, je tourne en rond dans les recherches ...

Je ne dispose malheureusement pas d'accès aux anciens articles de cette revue remarquable. As-tu contacté son service de relations ? Tu pourrais aussi chercher du côté des bibliothèques universitaires, de leurs sites Internet et de la Bibliothèque Nationale de France.

Bernard-maths a écrit :

... 3) Enfin quel logiciel utilises-tu pour faire les beaux dessins que tu mets ? Perso j'utilise GeoGebra 5, et je vais mettre mes dessins en libre accès sur leur site ...

En cette occasion, j'ai tout simplement détourné une image appropriée disponible sur la Toile, que j'ai complétée à l'aide du logiciel Paint.
Pour les documents graphiques postés sur forum, je recours systématiquement au téléchargement des images et à la capture d'écran;
- Irfan View intervient pour le cadrage, et pour tout changement d'échelle ou de dimension;
- Paint pour l'ajout de texte, d'éléments géométriques et toute modification des couleurs.
L'accompagnement scolaire m'a rôdé à cette pratique, depuis que le confinement a contraint tout le monde aux échanges numériques.

Les documents personnels, quand à eux, proviennent d'un programme Pascal réalisant l'analyse et la synthèse des images au format Bitmap, ensuite converties en PNG (et éventuellement légendées) par le moyen d'Irfan View ou Paint..
Le programme le plus pratique part d'un fichier image au format approprié, en reprenant intégralement son en-tête; les modifications portent sur la matrice du corps de l'image, et le contenu pictural d'origine peut complètement disparaître.

F
F

Cordialement,
Wiwaxia.

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#5 02-01-2021 15:38:02

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonjour, et merci Wiwaxia.

Le week-end va être un peu agité ... donc je reviendrai lundi.

Bonne année à tous ...

Bernard-maths

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#6 03-01-2021 16:11:34

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

On peut, à titre exploratoire, tenter de percevoir le lien entre une surface fermée polyédrique et son équation cartésienne F(x, y, z) = 0 .

Le cas le plus simple est celui du cube, dont la forme est approchée par les surfaces d'équation

x2n + y2n + z2n = 1 .

L'image ci-dessous correspond à la valeur n = 15 (la version actuelle du logiciel ne gérant pas les polynômes de degré supérieur à 30):

F

Lorsque (n) tend vers l'infini, on obtient à la limite une équation qui n'est plus algébrique:

Max(|x|, |y|, |z|) = 1 .

Une surface de forme octaédrique apparaît dans le cas des équations du type:

(x + y + z)2n + (x - y + z)2n + (y - z + x)2n + (z - x + y)2n = 1 ;

on obtient ainsi pour n = 15 :

F

l'équation devient pour (n) infiniment grand:

Max(|x + y + z|, |x - y + z|, |y - z + x|, |z - x + y|) = 1 ;

Il est moins facile d'obtenir des surfaces de forme tétraédrique, en raison de l'absence de centre de symétrie; une telle forme s'observe dans le cas d'une équation du type:

(x + y + z - 1)2n + (x - y + z - 1)2n + (y - z + x - 1)2n + (z - x + y - 1)2n = 1 ,

ce qui donne lorsque (n) vaut 15:

F

La limite obtenue pour (n) infiniment grand est apparentée aux résultats déjà obtenus:

Max(|x + y + z - 1|, |x - y + z - 1|, |y - z + x - 1|, |z - x + y - 1|) = 1 ;

les surfaces correspondantes ne sont désormais plus centrées sur l'origine du repère.

Le passage continu de l'octaèdre au tétraèdre est cependant possible, par l'intervention d'un paramètre (a) variant entre 0 et 1 ;
l'équation algébrique est alors du type:

(x + y + z - a)2n + (x - y + z - a)2n + (y - z + x - a)2n + (z - x + y - a)2n = 1 ,

et prend la forme limite:

Max(|x + y + z - a|, |x - y + z - a|, |y - z + x - a|, |z - x + y - a|) = 1 ;

Les surfaces algébriques correspondantes sont des tétraèdres tronqués:

F

on trouve pour a = 1/2 le plus simple des polyèdres archimédiens.
Pour ceux qu'intéresserait la représentation tridimensionnelle des surfaces algébriques, le logiciel est disponible sur le site toujours mis à jour:

https://imaginary.org/fr/program/surfer

Dernière modification par Wiwaxia (03-01-2021 17:58:31)

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#7 03-01-2021 17:24:40

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bravo Wiwaxia, je vois que tu te défoules ! ... dans mon dos ?

Donc je t'invite à explorer :
que je voulais amener plus doucement pour le reste des curieux …

1) la formule |x-a|+|x+a|+|y-a|+|y+a|+|z-a|+|z+a|=6a

2) ce que ça donne avec e ≥ 0, |x-a|+|x+a|+|y-a|+|y+a|+|z-a|+|z+a|=6a+2e

3) et comment « arrondir » les bords et les coins ?

Courage, je sais que ça va t’amuser … !

Courage aussi à tous ceux qui seraient tentés, je suis prêt à apporter des « cheminements ».

Bernard-maths

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#8 03-01-2021 17:58:09

Zebulor
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Re : Des équations et des cubes

Bonsoir à vous deux,
et merci à Wiwaxia pour ce lien .


Les maths c'est plus facile quand on connaît la réponse.

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#9 03-01-2021 18:33:08

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonsoir à tous, quelques précisions sur des logiciels que j'utilise, et ma philosophie !

Wiwaxia nous a envoyé de très belles images, produites avec le logiciel Surfer. Surfer est très sympa à utiliser et assez simple.
Ce que je lui "reproche", c'est de ne pas prendre en compte des fonctions "usuelles", et en particulier la valeur absolue, et la logique !

Or moi, j'en ai besoin, et à la puissance 1 ! J'ai quand même essayé, et ça plante à la saisie, bien sur.

Par contre si on prend, comme Wiwaxia, des exposants 2n donc pairs, on "perd" une partie (la moitié ?) des images possibles ... ce n’est pas un reproche ! On utilise ce qui est disponible !

J'utilise depuis "très longtemps" GéoGebra, qui a plus de possibilités en saisie, mais qui manque de possibilités en tracés 3D ...
Par exemple il ne sait pas tracer le cube que j'ai donné en 1er, si on en introduit l'équation avec valeurs absolues !
Pourtant, une fois j'ai eu un tracé réussi, mais qui a disparu (!!!) et ne s'est jamais refait ...
Surfer ne peut pas non plus, à cause des valeurs absolues ...

Alors, personnellement, j'établie des formules, que je décompose par analyse des signes à l'intérieur de chaque valeur absolue, et je construis géométriquement les figures correspondantes. C'est beaucoup de travail, mais c'est très "chouette" !


Je reste "formateur", c'est à dire que je veux bien vous présenter mes "découvertes", mais je voudrais surtout vous en expliquer la création des formules, et qu'à partir de là, vous puissiez créer des nouveautés !

Je suis aussi un peu artiste, et je suis prêt à détourner une figure pour en faire autre chose, et comme j'aime bien le dire, "pour rendre les maths attrayantes, il faut mettre un peu d'art aux maths" ...

Pour finir, moi j'aime bien l'équation : abs(x) + abs(y) + abs(z) = a > 0, c'est plus pointu que les formes octaédriques présentées ci-dessus par Wiwaxia, et ça prouve que l'exposant 1 sur une valeur absolue est utile ... !

Bonsoir à tous, et portez vous bien,

Bernard-maths

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#10 03-01-2021 19:06:39

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bernard-maths a écrit :

... la formule |x-a|+|x+a|+|y-a|+|y+a|+|z-a|+|z+a|=6a
... / ... Courage, je sais que ça va t’amuser !...

Pas tellement, car la prolifération des valeurs absolues conduit à un grand nombre de combinaisons.
La somme s =  |u - a| + |u + a| admet 3 expressions (-2u ; 2a ; 2u) suivant la situation de la variable (u) par rapport aux deux bornes (-a , +a); il y a donc 33 = 27 résultats différents pour la formule initiale, suivant le domaine de (R3) envisagé.
L'égalité F(x, y, z) = 6a correspond au cube d'arête (2a) centré sur l'origine du repère ...

Bernard-maths a écrit :

... ce que ça donne avec e ≥ 0, |x-a|+|x+a|+|y-a|+|y+a|+|z-a|+|z+a|=6a+2e ...

À vue d'œil un cube chanfreiné de dimension 2(a + e) - à vérifier

KAdsSwrGqDg_Cube-chamfrein%C3%A9.png

Voir https://mathcurve.com/polyedres/chanfre … eine.shtml

Bernard-maths a écrit :

... et comment « arrondir » les bords et les coins ? ...

Tout simplement en utilisant des combinaisons linéaires de puissances paires de

x, y, z, (x + y + z), (x - y + z), (y - z + x), (z - x + y) ... etc;

plus élevé sera l'exposant, plus faible sera le rayon de courbure.

Dernière modification par Wiwaxia (04-01-2021 08:11:41)

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#11 03-01-2021 19:15:12

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Oui, effectivement !

Les exposants pairs entrainent l'exposant 2 en premier, et donc arrondissent les plans arêtes et les coins triangles ...
Il est amusant des tester des exposants fractionnaires, n=2/3 par exemple ...

Et c'est pareil pour les tétraèdres et autres ...

Bonne soirée !

Bernard-maths

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#12 03-01-2021 19:16:24

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Je ne sais pas faire la figure !

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#13 03-01-2021 20:46:17

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Par contre en variant le nombre e, on passe ... du cube plein à ... de très jolies choses ...

Pour le cube plein, extrapoler à partir du carré plein ...

Pour le tétraèdre plein, chercher la somme des 4 distances d'un point intérieur aux 4 faces ...

Et ça devrait aller pour des polyèdres réguliers ...


Et si on ajoute 2e au membre de droite, on va couper les arêtes ... et les sommets ...

Et avec un exposant ... on peut arrondir les choses ...

Bon, en voilà assez pour passer la nuit !

A demain, Bernard-maths

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#14 04-01-2021 12:30:17

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bernard-maths a écrit :

Je ne sais pas faire la figure !

Et moi, un doute m'a saisi ...

Wiwaxia a écrit :

... À vue d'œil un cube chanfreiné de dimension 2(a + e) - à vérifier ...

Je reprends donc une représentation plus détaillée du polyèdre précédent:

KAekWerROCg_Cube-Chanfrein%C3%A9-Oxyz-12-points.png

L'équation cartésienne fait intervenir une somme de 3 termes: S = Sx + Sy + Sz , avec:

Sx = |x - a| + |x + a| ,
Sy = |y - a |+ |y + a| ,
Sz = |z - a| + |z + a| .

1°) Soit un point quelconque de la face carrée (ABCD), d'abscisse x = b > a
et vérifiant par ailleurs: |y| et |z| < a ;
on obtient dans ce cas: S = 2x + 2a + 2a = 4a + 2b .

2°) La face rectangulaire (ADLE) est quand à elle caractérisée par (x + y) = a + b , |x| et |y| > a , |z| < a ,
ce qui entraîne: S = 2x + 2y + 2a = 2(x + y) + 2a = 2(a + b) + 2a = 4a + 2b .

3°) On a enfin dans le cas du triangle (AEF): |x|, |y| et |z| > a , x + y + z = b + 2a ,
d'où S = 2x + 2y + 2z = 2(b + 2a) = 4a + b .

La somme proposée est bien constante sur toutes les 3 faces étudiées; compte tenu des symétries du polyèdre, elle présente la même valeur sur toutes ses faces.

Le cube chanfreiné admet donc pour équation cartésienne: S = 4a + 2b; l'identification avec l'expression initialement donnée S = 6a + 2e implique: 2b = 2a + 2e , soit: b = a + e .

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#15 04-01-2021 13:12:39

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bien vu Wiwaxia !

J'ai pas mal de figures intéressantes, mais il faut que je les présente sur le site GeoGebra ...

Je suis en train de pondre un document sur les équations implicites de polyèdres ... avec des résultats basiques !

On pourra ensuite en discuter, et justifier, et prendre des exemples ...

Mais je suis en train de "finir" mes recherches, et j'ai la flemme (il faut du temps) de donner des exemples, sauf simples !

A bientôt donc, je cogite ...

Bernard-maths

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#16 05-01-2021 09:31:32

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonjour à tous !

C'est pas parce que je cogite que je ne peux pas voue émoustiller un peu.

Dans la dernière manipulation de Wiwaxia, si e augmente indéfiniment, la figure aussi, et quand elle sera très grande, elle ressemblera à un tétraèdre tronqué aux sommets, qui resteront des carrés de côté 2a ...

Alors pour ne pas aller trop loin : je vous propose de considérer un nombre c > 0, tel que a + e = c, et de vous amuser à faire varier a entre c et 0, avec donc e = c - a ...

Je crois que pour a = e, on retrouve une jolie bête géométrique ... les intermédiaires sont pas mal aussi, et je crois que vous retrouverez une animation visibles sur quelques sites.

Bonne journée, Bernard-maths

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#17 05-01-2021 14:09:36

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bernard-maths a écrit :

... Dans la dernière manipulation de Wiwaxia, si e augmente indéfiniment, la figure aussi, et quand elle sera très grande, elle ressemblera à un tétraèdre tronqué aux sommets, qui resteront des carrés de côté 2a ...

Alors pour ne pas aller trop loin : je vous propose de considérer un nombre c > 0, tel que a + e = c, et de vous amuser à faire varier a entre c et 0, avec donc e = c - a ...

On passe en fait continûment du cube (e = 0) à son dual l'octaèdre (a = 0), par l'intermédiaire du rhombicuboctaèdre, caractérisé par des arêtes de même longueur.
KAfm1Qnotfg_6-images.png
Considérons les points A(a + e, a, a), B(a + e, -a, a), E(a, a + e, a) ; il vient:
AB2 = (2a)2 = 4a2 ; AE2 = e2 + e2 = 2e2 ,
de sorte que le cas limite AB = AE implique: e2 = 2a2 , d'où: e = a.21/2 .

Voir https://mathcurve.com/polyedres/tronque/tronque.shtml
https://mathcurve.com/polyedres/chanfre … eine.shtml
https://mathcurve.com/polyedres/rhombic … edre.shtml

https://mathcurve.com/polyedres/cubocta … aedre.shtm
http://gaogoa.free.fr/HTML/Noeudrondlog … himede.htm
http://www.debart.fr/geogebra_3D/geogeb … e.html#ch1

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#18 05-01-2021 17:36:30

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bien vu encore Wiwaxia !

Mais c'est dommage que tu sois le seul à me contacter ...

Il faut encourager "les autres" ...
Il ne faut pas hésiter à me répondre, ou poser des questions !


Bonne soirée, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (06-01-2021 10:12:24)

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#19 06-01-2021 09:45:05

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Hum ! Je crois que je suis en train de mélanger 2 figures !!!???



Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (06-01-2021 10:12:54)

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#20 08-01-2021 12:25:30

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonjour à tous !

En suivant le lien donné par Wiwaxia sur https://mathcurve.com/polyedres/cubocta … aedre.shtm, on trouve ceci :

Coordonnées des sommets    (+ ou -b, + ou -b, 0)  permutés circulairement, avec b = a / rac(2).
Curiosité : la surface du cuboctaèdre est la surface d'équation implicite : abs(x+y+z) + abs(-x+y+z) + abs(x-y+z) + abs(x+y-z) = 4b.

Puisqu'on "reste" dans du cube, je veux bien en parler !

Quelqu'un sait il démontrer cette équation ? Ce n'est pas évident ...


Mais avec quelques techniques que j'ai mises au point, je pense que c'est possible, MAIS je ne l'ai pas encore réalisée !!!

C'est ce genre de choses qui m'attire en ce moment ... je vais continuer pour finaliser.


J'attends vos commentaires, et je vous donnerai mon cheminement ...


Cordialement, Bernard-maths

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#21 09-01-2021 10:29:52

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bonjour,

L'adresse du lien donné était altérée: https://mathcurve.com/polyedres/cubocta … edre.shtml

Le cuboctaèdre résulte de la troncature d'un cube ou d'un octaèdre, de telle sorte que les 12 sommets subsistants occupent les milieux des arêtes du cube de côté (2b).
KAjjurUNtfg_8a-3-Cubocta%C3%A8dres.png
La face triangulaire située dans le premier octant (x, y, z non négatifs) du repère (Oxyz) appartient au triangle (ABC) dont les sommets se positionnent sur les axes:

A(a, 0, 0) , B(0, a, 0) , C(0, 0, a) ,

ainsi qu'au plan d'équation: x + y + z = a (il est facile de le vérifier);
on obtient pour les milieux ds côtés: x + y + z = 2.b + 0 d'où: a = 2b .

La somme S = |x+y+z| + |-x+y+z|+ |x-y+z| + |x+y-z| a pour valeur: S = 2b + 2b = 4b = 2a sur tout le triangle précédent.
Compte tenu de l'existence des 3 plans de symétrie, la relation S = 2a est l'équation de la surface de l'octaèdre régulier centré à l'origine, et de diamètre (2a).

Dernière modification par Wiwaxia (09-01-2021 13:05:08)

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#22 11-01-2021 18:13:36

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonsoir à tous, et à Wiwaxia !

Wiwaxia, j'ai du mal a suivre ton raisonnement, et je vais indiquer dans la suite la méthode que j'ai trouvée.
MAIS pourrais-tu me redonner les liens permettant de transférer des images ? je ne retrouve pas ...

Alors je commence par une première étape ...

Théorème : si A1A2 ... An est un polygone régulier convexe du plan, alors pour tout point intérieur, la somme des n distances de ce point aux n côtés est constante, et égale à n fois l'apothème.

Remarques : pour un point sur le polygone, c'est aussi vrai. Pour un point extérieur strictement au polygone, la somme est strictement supérieure à n fois apothème. De même si le point sort du plan du polygone.

Corollaire : l'égalité somme des n distances = n fois apothème est une équation du polygone.

Je vous laisse chercher un peu, mais on peut penser à calculer l'aire du polygone ... deuxième étape demain.
C'est ce que j'ai utilisé pour l'équation du cube au début.

Bonsoir à tous, portez vous bien, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (11-01-2021 18:16:41)

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#23 12-01-2021 19:14:39

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bernard-maths a écrit :

... MAIS pourrais-tu me redonner les liens permettant de transférer des images ? je ne retrouve pas ...

J'ai saisi en vol les animations présentes sur le site indiqué
https://mathcurve.com/polyedres/cubocta … edre.shtml
L'une des figures laissait à désirer, mais je n'ai pas eu le temps de la reprendre.

Je découvre la notion d'apothème à la lecture de ta dernière intervention; elle appelle les remarques intéressantes, et j'y viendrai dès que possible.

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#24 12-01-2021 21:36:56

Bernard-maths
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Re : Des équations et des cubes

Bonsoir Wiwaxia,

pour rigoler un peu, mon amie adore = la pote aime ?????????????

cordialement, Bernard-maths

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#25 13-01-2021 10:14:55

Wiwaxia
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Re : Des équations et des cubes

Bernard-maths a écrit :

... pour rigoler un peu, mon amie adore = la pote aime ...

Alors tant mieux ... il arrive que le conjoint ne soit pas sensible au charme ésotérique des mathématiques.

Bernard-maths a écrit :

...  j'ai du mal a suivre ton raisonnement ...

Il est vrai que la réponse était bien trop concise ...
La présence de 3 plans de symétrie orthogonaux (xOy, yOz, zOx) implique celle de 3 axes d'ordre 2 (x'x; y'y, z'z) et d'un centre de symétrie (O), de sorte que si l'équation S(x, y, z) = K est vérifiée au point de coordonnées (a, b, c), elle l'est pareillement aux autres points

(-a, b, c), (a, -b, c), (a, b, -c) ... (-a, -b, -c),

soit au total huit points, et qu'il suffit de regarder ce qui se passe dans le premier octant, domaine où les coordonnées sont positives.

Bernard-maths a écrit :

... Théorème : si A1A2 ... An est un polygone régulier convexe du plan, alors pour tout point intérieur, la somme des n distances de ce point aux n côtés est constante, et égale à n fois l'apothème
... / ...
Corollaire : l'égalité somme des n distances = n fois apothème est une équation du polygone ...

Soit un polygone convexe et non croisé (A1, A2 ... AN) et un point quelconque (M) situé à l'intérieur; le tracé des segments (MAi) joignant ce point à chacun des sommets induit une partition du domaine délimité par le contour, et l'aire de ce dernier est donnée par la somme de celles des triangles (MAiAj) basés sur les arêtes successives d'indices (i, j = 1 + (i Mod N)):

Apol = Σi=1N(AMAiAj) = Σi=1N(AiAj*MHi/2) =  (1/2)Σi=1N(Li.hi) .

KAmwMi5UzC0_Polygone-quelconque.png

Dans le cas d'un polygone équilatéral, d'arêtes de même longueur (L = Li), la relation précédente devient:

Σi=1N(hi) = 2.Apol/L ;

Si de plus les arêtes sont toutes tangentes à un même cercle de centre (H°), il s'agit du cercle inscrit dans le polygone alors régulier, et dont le rayon représente par définition son apothème (h = hi); la somme constante précédemment envisagée prend au niveau de l'orthocentre (H0) la valeur particulière:

S = S() = Σi=1N(h) = N.h .

On recourt à cette propriété géométrique en Thermodynamique, pour la représentation des diagrammes de phases des systèmes ternaires, réalisés à partir de 3 constituants chimiques; la somme des 3 hauteurs vérifie en effet dans le cas du triangle équilatéral:

S = LM + LN + LP = L.√3/2 ,

ce qui permet de représenter la composition du système par un point de l'intérieur du triangle, les proportions (xA, xB, xC)de chacun des constituants (A, B, C) étant proportionnelles aux hauteurs correspondantes:

xA/LM = xB/LN = xC/LP = (xA + xB + xC)/(LM + LN + LP) = 1/(L.√3/2) = 2/L.√3 .

KAnjGIDqcZ0_Diagrammes-phases-ternaire.png

De même que Monsieur Jourdain faisait de la prose sans le savoir, l'étudiant que j'étais utilisait sans le connaître le théorème dont tu as parlé.

Dernière modification par Wiwaxia (13-01-2021 14:06:32)

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