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Bill

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Algèbre

Bonjour à tous,
J’aimerais avoir un coup de main sur la résolution d’un sujet autour du théorème de Sylow. J’ai pu faire une partie, mais j’aimerais bien avoir un retour son mon raisonnement si c’est correct et un peu de l’aide pour la suite.
Voici l’énoncé:

Dans tout le problème, G désigne un groupe d’ordre 75 dont l’élément neutre est noté e. On se propose de déterminer à isomorphisme près tous les groupes G possibles.
1. Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes G commutatifs. Préciser dans chaque cas leurs facteurs invariants et leurs diviseurs élémentaires.
2. On ne suppose plus nécessairement G commutatif.
a) Montrer que G possède un sous-groupe distingué K d’ordre 25.
b) Quelles sont les valeurs possibles pour le nombre $n_3$ de sous-groupes d’ordre 3?
c) Que vaut $n_3$ si G n’est pas commutatif? En déduire qu’alors G aurait exactement 50 éléments d’odre 3.
3. On suppose dans cette question que le groupe K précédent d’odre 25 est cyclique.
Soit y $\in$ K tel que K =<y> =$\{e,y,y^2,...,y^{24}\}.$
Soit x un élément de G d’odre 3. On pose H =<x>=$\{e,x,x^2 \}.$
Montrer qu’il existe i $\in \mathbb{N}$ tel que $x.y.x^{-1}=y^i$, et que $i^3$ est congru à 1 modulo 25.
4. On suppose jusqu’a La question5 incluse que K = $\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}X \mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}$, que G n’est pas commutatif et que x est un élément de G d’ordre 3.
a) Quel est l’ordre d’un élément de K autre que e ? Combien y a t-il d’éléments d’ordre 5 dans G ?
b) On suppose qu’il existe y $\neq$ e dans K tel que $x.y.x^{-1} =y$. Quel est l’ordre de x.y?
Compter les éléments de G d’ordre 1,3 et 5 et en déduire une contradiction.
5. Soit $y \neq e$ dans K et z =$x.y.x^{-1}$.
a) Montrer que K est le produit direct de ses sous-groupes <y> et <z>.
b) Montrer qu’il existe l et m entiers tels que: $x.z.x^{-1}=y^l.z^m$ avec 1 $\leq l \leq 4, 0 \leq m \leq 4$.
c) Calculer $x^3.y.x^{-3}$, et montrer que nécessairement l = m = 4 congru (-1) modulo 5.
d) En considérant le quotient G/K, montrer que: G={$x^\alpha.y^\beta.z^\gamma |0 \leq \alpha \leq 2, 0 \leq \beta \leq 4, 0 \leq \gamma \leq 4$}.

Résolution:

1. Soit G un groupe commutatif d’ordre 75. Nous avons : 75 = $5^2.3$. On sait d’après le théorème de Sylow qu’il existe (au moins) un sous groupe H d’ordre 3 et (au moins) un sous groupe K d’ordre $5^2$. Comme G est commutatif et que PGCD($5^2,3$)=1, on sait que le produit HK est direct, d’ordre 75, donc que G = HK.
Comme il y a a isomorphe près 1 groupe commutatif d’ordre 3 et 2 groupes commutatifs  d’ordre 25, on en déduit qu’il y’aura à isomorphe près 2 groupes commutatifs d’ordre 75. Ces groupes seront toujours à isomorphe près:
. $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ x $\mathbb{Z}/25\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/75\mathbb{Z}$, son unique facteur invariant est 75, ses diviseurs élémentaires sont 3 et $5^2$.
. $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$X$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$X$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$X$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, ses facteurs invariants sont 15 et 5, ses diviseurs élémentaires sont 3, 5 et 5.
2. a) Soit K un sous groupe distingué de G. On rappelle que si $\alpha$ et $\beta$ sont 2 entiers premiers alors $\mathbb{Z}/(\alpha \beta)\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/\alpha\mathbb{Z}$X$\mathbb{Z}/\beta \mathbb{Z}$ on a donc : $\mathbb{Z}/75\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$X$\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}.$
Donc G possède bien un sous groupe distingué d'ordre 25.

Merci pour vos retours.
Cordialement