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samo12

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Prolongement par continuité

Bonjour,

J'ai du mal à répondre à la question suivante :

$f(x)=\frac{xln(x)}{x-1}$ est-elle prolongeable par continuité sur $R$?

la fonction est définie sur $]0,+\infty[\backslash\{1\}$ donc j'ai calculer la limite en 1 et j'ai trouvé qu'elle est égale à 1
et la limite à droite en 0 et j'ai trouvé qu'elle est égale à 0

et je définie un prolongement de $f$ qui est égale à :

$\frac{xln(x)}{x-1}$ si $x\in ]0,+\infty[\backslash\{1\}$
$1$ si $x=1$

$x$ si $x\in ]-\infty,0]$

c'est juste comme la réponse? Merci d'avance

Dernière modification par samo12 (09-12-2020 19:03:41)

Zebulor

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Re : Prolongement par continuité

Bonsoir,
- ton prolongement en 1 me paraît bon. Par contre je ne comprends pas pourquoi tu définies ce prolongement $\frac{xln(x)}{x-1}$ si $x\in [0,+\infty[\backslash\{1\}$ étant donné que $f$ est déjà définie sur $]0,+\infty[\backslash\{1\}$.. Par ailleurs tu es sur que $f$ est définie en $0$ ?

-Ok pour ta limite en 0.. Mais alors il y aurait moyen d'y faire un prolongement?

Je ne comprends pas ceci :

et je définie un prolongement de $f$ qui est égale à $x$ si $x\in ]-\infty,0]$

parce que pour moi le prolongement par continuité sous entend "par continuité en un point"

Dernière modification par Zebulor (09-12-2020 17:55:33)

samo12

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Re : Prolongement par continuité

Je fais quoi alors? je suis bloquée

Fred

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Re : Prolongement par continuité

Si tu veux prolonger par continuité sur $]-\infty,0]$, il y a plein de choix.
Il suffit de prendre une fonction $g$ continue sur $]-\infty,0]$ telle que $g(0)=0$.
Par exemple, $g(x)=x$ convient, mais $g(x)=0$ aussi, ou encore $g(x)=\sin(x)$....

samo12

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Re : Prolongement par continuité

En fait, la question de voir si cette fonction est prolongeable sur R? Comment dois-je répondre? Merci

Zebulor

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Re : Prolongement par continuité

re,

suite à la précision judicieuse de Fred tu peux en effet définir un prolongement de $f$ tel qu'il l'a défini.

Ce que je voulais dire c'est que tu peux te contenter prolonger $f$ par continuité sur $[0;+\infty[$ seulement, en écrivant qu'on peut prolonger $f$ en $0$ et en $1$ en posant $f(0)=0$ et $f(1)=1$. C'est tout.

Dernière modification par Zebulor (09-12-2020 21:09:59)