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Free13

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Projection orthogonale

Bonsoir à tous !

Je suis face à une incompréhension un peu casse tête

dans un vrai faux d'algèbre, il y avait l'affirmation suivante :

'Soit W un sous espace vectoriel de Rⁿ si un vecteur x n'appartient pas à W, alors x - proj_Wx est non nul."

J'ai dit que c'était vrai car pour moi on a que cette différence est égale en vecteur à la distance séparant x de sa projection orthogonale dans W, et que si x n'appartient pas à W, alors précisément il sera "éloigné" de W, mon raisonnement est il donc totalement faux ?

Merci d'avance !

F

Fred

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Re : Projection orthogonale

Plus facilement proj_W(x) est dans W et donc est différent de x.

Free13

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Re : Projection orthogonale

Je ne suis pas sure d'avoir très bien compris votre réponse désolée

Fred

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Re : Projection orthogonale

Par hypothèse, $x\notin W$.
Or $proj_W(x)\in W$ (quand on projette sur $W$, on arrive dans $W$).
Donc $x\neq proj_W(x)$, donc $x-proj_W(x)\neq 0$....

Zebulor

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Re : Projection orthogonale

Bonsoir,
si je puis me permettre  : encore une autre manière de voir.  Par l'absurde si $x-proj_W=0(x)$, alors $x=proj_W(x)$ et ces deux vecteurs appartiennent au même espace. Or par hypothèse $x\notin W$n, donc $proj_W \notin (x) W$  ce qui est impossible par construction.
Conclusion : $x\neq proj_W(x)$

Dernière modification par Zebulor (08-12-2020 19:15:06)

Free13

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Re : Projection orthogonale

Ah d'accord effectivement c'est beaucoup plus clair ainsi merci beaucoup !!