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foreternity83

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Demontrer que 3^n >= n^3 pour tout entier n en TS [Résolu]

Il existe bien des facons, mais je pense qu il faut demontrer par recurrence
Initialisation ok
supposons que 3^n >= n^3 est vraie
demontrons que 3^(n+1) >= (n+1)^3
j entrevois la chose 3*3^n >= n^3+3n^2+3n+1
donc 3^n>=(n^3+3n^2+3n+1)/3
et la je cale....
merci de votre aide

Fred

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Re : Demontrer que 3^n >= n^3 pour tout entier n en TS [Résolu]

Puisque [tex]3^n\geq n^3[/tex], tu as
[tex]3^{n+1}\geq 3n^3[/tex].
Le résultat est donc démontré si tu arrives à prouver que
[tex]3n^3\geq n^3+3n^2+3n+1[/tex],
c'est-à-dire si, [tex]2n^3-3n^2-3n-1\geq 0[/tex].

Il te reste une fonction à étudier. Tu remarqueras que malheureusement elle
peut prendre des valeurs négatives (en n=0 par exemple) mais que,
sauf erreur, si n>=3, elle est effectivement positive.

La bonne rédaction est alors :
On démontre que la propriété est vraie pour n=0,1,2,3.
On démontre que si la propriété est vraie pour n>=3, elle est vraie pour n+1.

C'est vraie pour toute valeur de n par le principe de récurrence.

F.

foreternity83

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Re : Demontrer que 3^n >= n^3 pour tout entier n en TS [Résolu]

Il y a encore un bug!!
C est vrai quelque  soit n
en effet 3^n=exp^(nlog3) > 0 et par croissance comparee la fonction exp croit plus vite que toutes autres fonctions, donc pour la fonction puissance
Je craque....mais je n abandonne pas
je ne vais pas me laisser EM.... par une petite recurrece
@+

foreternity83

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Re : Demontrer que 3^n >= n^3 pour tout entier n en TS [Résolu]

Je vais me servir moi aussi de mathtype
merci