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Pierre123

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Démontrer une relation en géométrie

Bonjour!

Je bloque sur un exercice de géométrie qui est le suivant:

Dans un triangle ABC on note M le milieu du segment [A;B] et N le milieu du segment [A;C]. On définit le point D tel que MD = 1/4 MN. La droite AD coupe BC en E.

Démontrer la relation:
BE = 1/4 BC

Voici comment j'imagine le problème:

Et à partir de là je n'ai aucune idée de comment m'y prend pour démontrer la relation, je remarque qu'il y a plusieurs triangles (Thales?), que tous les segments sur MN sont parallèles aux segments sur BC.

Voila j'aimerais juste avoir des infos sur comment démontrer une relation comme celle-ci, merci d'avance!

yoshi

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Re : Démontrer une relation en géométrie

Re,

Petites questions :...
L'énoncé dit M milieu de [AB] et N milieu de [AC]... Non ?
Alors permets-moi de trouver ton dessin et le placement de M et N plutôt curieux...
Avec un dessin aussi fantaisiste, je ne vois pas comment tu pourrais faire cette démonstration

Ton énoncé ne parle pas de la position du point D. Pourquoi  ?

Ce qui m'amène à te faire remarquer que A, B, M, N étant fixés, sans autre précision, j'ai le droit de placer D sur [AB] tel que MD=1/4 MN.
Et si tu traces (AD), cette droite coupe alors (BC) en B : E= B  et BE =0...

Donc dans ce cas ça ne marche pas...
Il est donc nécessaire que D appartienne à (MN)
Donc je place $D \in [MN]$ tel que $MD=\frac 1 4 MN$

Et oui, Thalès seul ou avec les th. de la droite des milieux te permettent d'aller au bout...

Mais d'abord tu dois justifier que
1. (MN)//-BC)
2. MN = 1/2 BC

Ensuite il te faudra exprimer MD en fonction de BC.
Puis utiliser le th de Thalès dans le triangle ABE...

Je m'absente, mais je vais repasser.
D'ici là, cogite un peu

@+

Pierre123

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Re : Démontrer une relation en géométrie

Effectivement petit problème de dessin, c'est pas du tout ce que je voulais faire, la correction:

Et voila comment j'imaginais les points E et D:

1. Du coup pour démontrer que (MN)//(BC), j'utilise le th. de la droite des milieux: Dans un triangle, si une droite passe par le milieu des deux côtés, alors elle est parallèle au troisième.
2. Et pour démontrer que MN=1/2 BC: même théorème, la longueur d'un segment joignant les milieux des deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième.

Pour le reste je bloque vraiment..

Donc si MN = la moitié de BC
1/4 de MN = 1/8 de BC
BE = 1/4 BC

AB / AM = AE / AB = BE / MD ?

Je suis perdu là

yoshi

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Re : Démontrer une relation en géométrie

Ave,

Pourtant t'as fait le plus dur...
Avec Thalès, il y a deux rapports égaux plus le complémentaire (/!\ qui ne doit d'ailleurs pas être utilisé pour tester la réciproque).
Dans  le triangle ABE,
M est sur [AB]
D est sur [AE]
(MD)//(BE)
Donc:
$\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AE}{AD}= \dfrac{BE}{MD}$
J'en extrais les deux qui m'intéressent :
$\dfrac{AB}{AM}= \dfrac{BE}{MD}$
et comme M est le milieu de [AB] :
$\dfrac{AB}{AM}= \dfrac{BE}{MD}=2$ il fallait penser à ça !

Maintenant, 2 à 3 lignes supplémentaires et c'est fini...

@+

Pierre123

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Re : Démontrer une relation en géométrie

Malheureusement je ne vois pas comment faire, je n'ai que les données pour AB et AM? qui sont 2 et et 1 ?

yoshi

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Re : Démontrer une relation en géométrie

Bonsoir,

Un peu d'imagination ! Lève le nez du guidon, prends un peu de hauteur...
Si $\dfrac{BE}{MD}=2$ alors  $BE=2MD$.
                Maintenant, résumons...
Ce que tu sais :            Ce que tu dois montrer :
MD=1/8 BC |
      et          |>               BE= 1/4 BC
BE = 2MD    |                                                       

Ça y est, tu vois maintenant  comment passer de ce que tu sais à ce que tu dois montrer ?
Si la réponse est non, je vais aller jusqu'au lac le plus proche et me jeter dedans...

@+

Pierre123

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Re : Démontrer une relation en géométrie

Ah oui d'accord, je n'ai aucune excuse là...

Du coup le 2 a été trouvé par BE=2MD

1/2BE = MD
MD = 1/8BC

2MD=BE
8MD=BC

Qui vérifie que BE=1/4 BC

Dernière modification par Pierre123 (23-08-2020 10:39:25)

yoshi

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Re : Démontrer une relation en géométrie

Re,

On peut résumer ça par cette simple égalité :
$\dfrac 1 4 = \dfrac 1 8 \times 2$

Je t'avais dit de "prendre de "la hauteur" : il fallait simplement avoir ainsi une vue d'ensemble et pouvoir faire le point ce que tu savais déjà....
Tu avais évoqué le théorème de Thalès, je me suis donc penché sur son utilisation...

Mais j'ai aussi cherché une méthode par les vecteurs ...
M et N sont les milieux de [AB] et [AC] donc $\overrightarrow{MN}=\dfrac 1 2 \overrightarrow{BC}$
C'est un résultat à savoir autant que le théorèmes de Géométrie classique.

▼ En voilà la démonstration

$\overrightarrow{MA}=\dfrac 1 2 \overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{AN}=\dfrac 1 2 \overrightarrow{AC}$

D'après la relation de Chasles, je peux écrire :
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=\dfrac 1 2 \overrightarrow{BA}+\dfrac 1 2\overrightarrow{AC}=\dfrac 1 2 (\overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AC})=\dfrac 1 2 \overrightarrow{BC}$

Toujours grâce à la relation de Chasles, j'écris :
$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$ (1)
On sait que (MN)//(BC) que A, D, E sont alignés, donc avec la droite des milieux dans la triangle ABE tu conclus que D est le milieu de [AE], Puis que $\overrightarrow{BE}= 2 \overrightarrow{MD}$
Donc que
$\overrightarrow{BE}= 2 \overrightarrow{MD}=2\times\dfrac 1 4 \overrightarrow{MN} =\dfrac 1 2 \overrightarrow{MN} $
Or on sait que
$\overrightarrow{MN}=\dfrac 1 2 \overrightarrow{BC}$

Et on conclut que :
$\overrightarrow{BE}=\dfrac 1 2 \overrightarrow{MN}=\dfrac 1 2 \times \dfrac 1 2 \overrightarrow{BC}=\dfrac 1 4\overrightarrow{BC}$

Mais, pour une fois, c'est plus long avec les vecteurs qu'une démo "normale"...

@+