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zafati

Invité

[Résolu] un petit probleme

demontrer moi que pour chaque n de N on a
(1/(1+n)) (1+1/3+1/5+....+1/(2n-1))  superieure a (1/n)  (1/2+1/4+1/6+...+1/2n)

JJ

Invité

Re : [Résolu] un petit probleme

il faut utiliser l'inégalité suivante :
1/(1-1/(2k)) > (1+1/(2k))
donc :
1/(2k-1) > (1/(2k))(1+1/(2k))
pour comparer les sommes (avec k=1 à k=n)
n/(2k-1)
à
(n+1)/(2k)

freeman

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Messages : 93

Re : [Résolu] un petit probleme

Première remarque, on a égalité si n=1.

Soit H(n) =1+1/2+1/3+...+1/n
Il s'agit de montrer: H(2n)-(1/2)H(n)>(n+1)/n *(1/2)H(n)

soit: H(2n)-H(n)>(1/2n)H(n)

Chaque coté de cette inégalité a n termes, et terme à terme, on a bien 1/(n+k)>1/(2kn) pour k=1....n (avec égalité si n=k=1). D'où l'inégalité demandée.