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Tmota

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Une fonction périodique

Bonjour,

Dans un exercice, on pose les conditions suivantes :

- $f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{C})$ telle que $f=O(\frac{1}{x^2})$ lorsque $\lvert x\rvert$ tend vers $+\infty$
- on note $g(x)=\lim_{N\to +\infty}\sum_{n=-N}^{+N}f(x+2\pi n)$ lorsque cette somme converge.

Je dois montrer que $g$ est une fonction périodique et je dois préciser une période.

Pour cela, je pose :
$g_N(x)=\sum_{n=-N}^{+N}f(x+2\pi n)$

Pour $x\in\mathbb{R}$, j'arrive à prouver que :
$g_N(x+2\pi n)-g_N(x)=f(x+2(N+1)\pi)-f(x-2N\pi)$ par télescopage.

Ensuite, j'hésite énormément à écrire :
$\lim_{N\to+\infty}f(x+2(N+1)\pi)-f(x-2N\pi)=0$ (*)

Ce qui donnerai alors
$\lim_{N\to+\infty}g_N(x+2\pi n)-g_N(x)=0$

Ou encore :
$g(x+2\pi n)-g(x)=0$

Qui permettrait de conclure.

Mon hésitation se trouve sur l'égalité (*).

Je sais que, lorsque $f$ continue et que $\lim_n x_n=x$ alors $\lim_n f(x_n)=f(x)$.

Mais ici, en notant $x_N=x+2(N+1)\pi$ et $y_N=x-2N\pi$, on a $\lim_N x_N=\infty$ et $\lim_N y_N=-$\infty$.

Et là, je bloque.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.

Fred

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Re : Une fonction périodique

Bonjour

  Le fait que $f=O(1/x^2)$ entraîne que la limite de $f$ en $\pm \infty$ est nulle et donc que la propriété (*) est vraie. L'autre difficulté de l'exercice c'est de justifier que $g_N$ admet une limite lorsque $N$ tend vers l'infini ce que tu passes sous silence pour le moment.

F.

Tmota

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Re : Une fonction périodique

Bonsoir Fred.
Oui, j'ai dit que g était bien définie en utilisant le critère de Riemann pour les séries de Riemann et le fait que $f(x)=O(\frac{1}{x^2})$ pour $|x|$ tendant vers $\infty$.

Je me demande pourquoi je n'ai pas pensé à utiliser encore ce fait là pour mon calcul de limite.

Allons-y :
$f(x)=O(\frac{1}{x^2})$ signifie qu'il existe $N>0$ et $C>0$ telle que $\forall x>N \Rightarrow|f(x)|\le C\frac{1}{x^2}$

D'où $-C\frac{1}{x^2}\le f(x)\le C\frac{1}{x^2}$ et en faisant tendre x vers ±$\infty$, on obtient qu'effectivement $\lim_x f(x)=0$ en ±$\infty$.

Finalement :
Posons $u=x+2(N+1)\pi \rightarrow_{N\to+\infty}+\infty$.
Alors, par continuité de f,  $\lim_{N\to+\infty} f(x+2(N+1)\pi)=\lim_{u\to+\infty}f(u)=0$.

De même, en posant $v=x-2N\pi \rightarrow_{N\to+\infty}-\infty$.
Alors, par continuité de f,  $\lim_{N\to+\infty} f(x-2N\pi)=\lim_{v\to-\infty}f(u)=0$.

D'où l'on déduit l'égalité (*).

Qu'en pensez-vous ?

Fred

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Re : Une fonction périodique

Ce n'est pas par continuité de $f$ c'est par définition de la limite (ou encore par composition des limites).

F

Tmota

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Re : Une fonction périodique

Très bien, merci beaucoup pour l'aide !