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PhilB

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Lien entre trace et déterminant

Bonjour,

J'ai trouvé cet exercice :

Soit E un espace vectoriel de dimension n dont une base est $\mathcal{B}$. Soient $(x_{1},\ldots,x_{n})\in E$ et $f\in L(E)$.

Montrer que $\sum_{k=1}^{n}\det_{\mathcal{B}}(x_{1},\ldots,f(x_{k}),\ldots,x_{n})=Tr(f)\det_{\mathcal{B}}(x_{1},\text{…},x_{n})$

J'ai essayé une disjonction de cas en traitant le cas où la famille considérée est libre d'abord, puis celui où elle est liée.
Le cas liée me pose problème. Auriez-vous des pistes ?

Merci.

Dernière modification par PhilB (26-11-2019 12:50:40)

Maenwe

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Re : Lien entre trace et déterminant

Bonsoir,
La famille donnée par l'énoncé est obligatoirement libre puisque c'est une base donc je ne comprends pas l'utilité d'une disjonction de cas sur la liberté de la famille...
Pour résoudre l'exercice commence par écrire $f(x_{i})$ dans la base donnée par l'exercice, et essaye de voir ce que tu peux en faire (petite indication : utilise la n-linéarité du déterminant).

Fred

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Re : Lien entre trace et déterminant

Bonjour,

  J'ai l'impression que le résultat est faux si $(x_1,\dots,x_n)$ est liée. Prends $x_1=e_1$, $x_2=e_1$ et $f(e_1)=e_2$, $f(e_2)=0$.
Alors le membre de droite est nul puisque $(x_1,x_2)$ est liée, le membre de gauche vaut -1....

@Maenwe: ce n'est pas écrit que $(x_1,\dots,x_n)$ est une base....

F.

PhilB

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Re : Lien entre trace et déterminant

Bonjour,

@Maenwe je m'excuse je n'ai pas dû être très clair $(x_{1}, … , x_{n})$ n'est pas une base, c'est $\mathcal{B}$ qui en est une. Je modifie mon post.

@Fred, je ne comprends pas très bien votre résultat, car si $(x_{1}, x_{2})$ est liée c'est que $e_{1} = \lambda e_{2}$ et donc que $f(e_{1}) = \lambda f(e_{2}) = 0$. Le résultat est alors valide.

Fred

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Re : Lien entre trace et déterminant

@Fred, je ne comprends pas très bien votre résultat, car si $(x_{1}, x_{2})$ est liée c'est que $e_{1} = \lambda e_{2}$ et donc que $f(e_{1}) = \lambda f(e_{2}) = 0$. Le résultat est alors valide.

Je ne comprends pas bien ce que tu dis, mais cela dit, j'avais fumé la moquette ce matin et écrit n'importe quoi.
Si la famille est liée, par exemple, $x_n=\sum_{l=1}^{n-1}a_l x_l$. Tu dois démontrer que le membre de gauche vaut $0$. Tu peux partir ainsi :

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n-1} \det(x_1,\dots,f(x_k),\dots,\sum_{l=1}^{n-1}a_l x_l)&=\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{l=1}^{n-1} \det(x_1,\dots,f(x_k),\dots,a_lx_l)\\
&=\sum_{k=1}^{n-1}\det(x_1,\dots,f(x_k),\dots,x_{n-1},a_k x_k)\\
&=-\sum_{k=1}^{n-1}\det(x_1,\dots,x_{n-1},a_k f(x_k).
\end{align*}

Il te reste un dernier déterminant à intégrer dans la somme...

PhilB

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Re : Lien entre trace et déterminant

Bonsoir,

@Fred au temps pour moi, j'avais mal lu votre message (j'avais vu $x_{2}=e_{2}$). Merci en tout cas, je n'ai plus qu'à conclure.

Maenwe

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Re : Lien entre trace et déterminant

Bonsoir,

@Fred, @PhilB autant pour moi !