Forum de mathématiques - Bibm@th.net

snoopyparis

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Démonstraion Loi de Pascal [Résolu]

Bonjour !
Voilà je cherche une démonstration de la loi de Pascal énoncé ici: http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ascal.html
Merci d'avance

Dernière modification par snoopyparis (18-05-2007 08:58:33)

galdinx

Modo gentil

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Re : Démonstraion Loi de Pascal [Résolu]

Bonjour,

La loi de Pascal telle que décrite dans la page que tu nous soumet est une définition. Par conséquent, je ne vois pas quelle démonstration tu peux attendre...

Précise ta pensée stp.

+++

john

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Re : Démonstraion Loi de Pascal [Résolu]

Bonsoir,
On peut quand-même montrer que cette expression donne bien la probabilité d'obtenir r succès au cours de k épreuves élémentaires donnant lieu chacune à 2 éventualités possibles :
- soit "succès" avec la probabilité p ;
- soit  "échec" avec la probabilité (1-p).

On note que k, le nombre total d'épreuves, ne peut être inférieur à r (car il faut jouer au moins r fois pour avoir r succès).
La v.a. X peut donc prendre les valeurs r, r+1, ... +oo.

On calcule la probabilité d'un déroulement quelconque de jeu en k coups comportant r succès et donc k-r échecs :
Pr(r succès ET k-r échecs) =  Pr(r succès).Pr(k-r échecs) = {[Pr(1 succès)]^r}.{[Pr(1 échec)]^(k-r)} = [p^r].[(1-p)^(k-r)] car toutes les épreuves sont indépendantes.
Parmi les déroulements de jeux de ce type, seuls ceux dont le dernier coup est un succès nous intéressent (car on a alors r succès en exactement k coups).
Les r-1 succès (autres que le dernier) sont répartis de toutes les manières possibles sur les k-1 coups qui précèdent le dernier. Il y a donc C(k-1, r-1) déroulements possibles de jeux de ce type.
D'où la formule proposée :
Pr(X = k) = C(k-1, r-1).[p^r].[(1-p)^(k-r)].

A+

Noter que BibM@th est l'un des rares sites à donner la bonne définition de la loi de Pascal P(r, p). Pour beaucoup, il y a confusion avec la loi géométrique G(p). Sauf erreur on a : G(p) = P(1, p).

Dernière modification par john (20-05-2007 07:25:18)