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Pierre-Adrien

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Preuve existence exponentielle

Bonjour à tous,

Je prépare le Capes de maths, et je suis tombé sur une question (annales 2014) sur l'unicité de exponentielle.
Je cherche sur les leçons, et à chaque fois je tombe sur une démonstration du type :

Posons, pour tout x∈R, g(x)=f(x)f(−x). Alors g est dérivable sur R et vérifie, pour tout x∈R,
g′(x)=f′(x)f(−x)−f(x)f′(−x)=0

Ce qui me laisse donc à croire que f'(-x) = - f(-x), donc que f est impaire. Or il se trouve que pour la fonction qui nous intéresse, c'est faux!
e (-x) !=  -e(-x)

Est ce qu'une bonne âme pourrait débloquer la situation? Merci!

Dernière modification par Pierre-Adrien (25-03-2019 11:29:52)

yoshi

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Re : Preuve existence exponentielle

Re,

f'(-x) = - f(-x), donc que f est impaire

Euh...
"Imparité" :
[tex]f(-x)=-f(x)[/tex] et non [tex]f'(-x) =-f(x)[/tex]

ce qui n'empêche pas que
[tex](e^{-x})'=-e^{-x}[/tex]

Avais-tu vu :
http://les-bonnes-notes.fr/article-roc- … 91329.html
ou
http://www.bibmath.net/ressources/index … ielle.html

@+

Pierre-Adrien

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Re : Preuve existence exponentielle

Merci bien. Je m'étais un peu embrouillé les pinceaux avec la fonction impaire.

Effectivement, l'étape qui me manquait a bien été décrite dans ton premier lien, à savoir (f(-x))' = -f'(-x)
Et ce n'est pas parce que ça marche pour exp que ça marche pour toutes les fonctions f données dans l'énoncé...
Il faut donc utiliser (u o v)' , avec u = f et v(x) = -x , ce qui donne u'*v'

Ça me semble loin d'être aussi trivial que je ne le lis un peu partout, parce qu'on utilise en général très peu cette formule.
Mais bon, maintenant je saurai!
Merci à toi!