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ccapucine

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Sobolev

Bonjour,
soit $u: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction définie par:
$$
\begin{cases}
0 &: x \leq -1\\
1+x &:-1 \leq x \leq 0\\
1-x &:0 \leq x \leq 1,\\
0 &: 1 \leq x
\end{cases}
$$
J'ai montré que $u \in H^1(\mathbb{R})$.
Comment montrer que $v =1-u$ appartient à $H^1([-2,2])$ mais il n'appartient pas à $H^1(\mathbb{R})$?

J'ai calculé $1-u=v$, et cette fonction est définie par:
$$
v(x)
=
\begin{cases}
1 &: x \leq -1\\
-x &-1 \leq x \leq 0\\
x &: 0 \leq x \leq 1\\
1 &: 1 \leq x.
\end{cases}
$$
Comment voir si $v \in H^1([-2,2])$ or que le domaine de définition de $v$ n'est pas délimiter par $2$ et $-2$? Et pourquoi $v \notin H^1(\mathbb{R})$?

Cordialement

aviateur

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Re : Sobolev

Bonjour
Pour la première question c'est évident que la fonction v envisagée c'est la fonction v restreinte à [2,2]. 

Maintenant c'est évident de voir que [tex]v \notin L^2(R).[/tex] Tu vois pourquoi?

ccapucine

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Re : Sobolev

Bonjour,

1- Je pense que c'est plus logique que la question soit: montrer que $v$ appartient à $H^1([-1,1])$. Car le 2 n'apparaît pas dans la définition de $v$. Non?
2- Ensuite, on trouve que
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |v|^2 dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{-1} dx + \displaystyle\int_{-1}^0 x dx + \displaystyle\int_0^1 x dx + \displaystyle\int_1^{+\infty} dx.
$$
On sait que $\displaystyle\int_{-\infty}^{-1} dx =+\infty$ et $\displaystyle\int_1^{+\infty} dx =+\infty$, ce qui implique que $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |v|^2 dx$ n'est pas finie, et donc $v$ n'est pas dans $L^2(\mathbb{R})$ et par conséquent pas dans $H^1(\mathbb{R})$. C'est ok?

Bien cordialement

aviateur

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Re : Sobolev

On demande [-2,2]. C'est un choix de l'auteur, c'est tout.
Pour la 2.  c'est mieux de dire que v=1-u  est ds [tex]H^1(R)[/tex]  ssi 1  est dans [tex]H^1(R)[/tex] ([tex]H^1(R)[/tex] est un e.v). Mais 1 n'est pas [tex]L^2(R)[/tex].

Dernière modification par aviateur (24-02-2019 17:20:09)

ccapucine

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Re : Sobolev

Merci beaucoup!

Bien cordialement

Dernière modification par ccapucine (24-02-2019 19:47:37)