Exercice sur les natures

Fatima@00 · 21-02-2019 16:33:49

Bonjour.
Quelqu'un pourrait-il m'aider avec cet exercice: nature de la serie de terme general Un= arctann/(n^3+1)^1/2

Roro · 21-02-2019 17:19:04

Bonjour,

Est ce que tu pourrais mettre les parenthèses plus clairement dans l'expression de [tex]u_n[/tex] pour savoir ce que tu veux ?

Que penserais-tu de la phrase suivante (qui ressemble à la précédente) :

Es tceque tupou rrai smettreles pare nthès espl usclair em entdansl'e xpres sion de[tex]u_n[/tex]p oursav oirc equ e tuv eux?

Roro.

Fatima@00 · 22-02-2019 13:37:47

Lol bonjour.

Oui en effet vous avez raison
Donc voilà :
[arctan(n)]/(n^3+1)^1/2

Dernière modification par yoshi (22-02-2019 14:06:31)

Calvin · 23-02-2019 10:36:32

Bonjour,
Essaye la règle [tex]n^{\alpha}u_n[/tex] avec [tex]\alpha[/tex]=\dfrac{4}{3}[/tex], par exemple...
Bonne recherche !
Calvin

Zebulor · 23-02-2019 11:14:15

Bonjour,

juste pour l'esthétique : Arctan[tex](\frac {n}{\sqrt{n^3+1}})[/tex]

et je me permets ceci : "la règle [tex]n^α u_n[/tex] avec [tex]α=\dfrac{4}{3}[/tex]"

Dernière modification par Zebulor (23-02-2019 11:28:32)

Fatima@00 · 24-02-2019 15:23:46

Calvin a écrit :

Bonjour,
Essaye la règle [tex]n^{\alpha}u_n[/tex] avec [tex]\alpha[/tex]=\dfrac{4}{3}[/tex], par exemple...
Bonne recherche !
Calvin

Excusez ma maladresse l'expression est celle-ci: Un=(arctan⁡(n))/√(n^3+1)

Zebulor · 24-02-2019 15:36:25

Bonjour Fatima,

je pense avoir mal lu ton post #3 : [tex]u_n=\frac {Arctan(n)}{\sqrt{n^3+1}}[/tex]. Avec un peu d'entraînement on arrive à se mettre au latex..

Dernière modification par Zebulor (24-02-2019 15:40:52)

Fatima@00 · 24-02-2019 15:36:48

Zebulor a écrit :

Bonjour,
juste pour l'esthétique : Arctan[tex](\frac {n}{\sqrt{n^3+1}})[/tex]
et je me permets ceci : "la règle [tex]n^α u_n[/tex] avec [tex]α=\dfrac{4}{3}[/tex]"

L'espression est la suivante: Un=[tex](\frac{arctan(n)}{\sqrt{n^3+1}})[/tex]

Fatima@00 · 24-02-2019 15:40:30

Zebulor a écrit :

Bonjour Fatima,
je pense avoir mal lu : [tex]u_n=\frac {Arctan(n)}{\sqrt{n^3+1}}[/tex]. Avec un peu d'entraînement on arrive à se mettre au latex..

Bonjour, en effet oui c'est la bonne expression

Zebulor · 24-02-2019 16:34:10

C'est une série à termes positifs dont le terme général [tex]u_n[/tex] tend bien vers 0, condition nécessaire de convergence de la série [tex]\Sigma u_n[/tex]. Pour savoir si cette série converge tu peux par exemple comparer un équivalent du terme général [tex]u_n[/tex] de cette série quand [tex]n[/tex] tend vers l'infini avec le terme général d'une série de Riemann ...

Dernière modification par Zebulor (24-02-2019 16:48:43)

Fatima@00 · 24-02-2019 17:04:05

Zebulor a écrit :

C'est une série à termes positifs dont le terme général [tex]u_n[/tex] tend bien vers 0, condition nécessaire de convergence de la série [tex]\Sigma u_n[/tex]. Pour savoir si cette série converge tu peux par exemple comparer un équivalent du terme général [tex]u_n[/tex] de cette série quand [tex]n[/tex] tend vers l'infini avec le terme général d'une série de Riemann ...

Oui, j'y ai pensé et j'ai essayé un développement limité pour trouver cet équivalent mais j'aboutis à une somme et étant donné que la règle de l'équivalence ne s'applique pas aux sommes, je suis bloquée. J'ai vérifié mes résultats et je ne vois pas d'erreur

Michel Coste · 24-02-2019 17:29:34

Bonjour,

Quelle est la limite de $\arctan(n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

Fatima@00 · 24-02-2019 18:47:57

Michel Coste a écrit :

Bonjour,
Quelle est la limite de $\arctan(n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

Bonjour la limite est [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]

Michel Coste · 24-02-2019 19:23:42

Et alors, peux-tu trouver un équivalent simple à $\dfrac{\arctan(n)}{\sqrt{n^3+1}}$ quand $n$ tend vers l'infini ?

Zebulor · 24-02-2019 19:41:11

Pas besoin de DL Fatima .. un équivalent tout simple suffit. Et les termes de ton DL sont ceux de séries convergentes en [tex]o(1/n^3)[/tex]

Fatima@00 · 24-02-2019 20:32:37

Zebulor a écrit :

Pas besoin de DL Fatima .. un équivalent tout simple suffit. Et les termes de ton DL sont ceux de séries convergentes en [tex]o(1/n^3)[/tex]

J'ai pas compris ce que vous voulez dire

Zebulor · 24-02-2019 20:52:34

J'aurais peut être du te laisse méditer sur le post de Michel Coste…
Quel DL as tu essayé? dans le post #15, je voulais écrire que les termes généraux du DL obtenu de [tex]u_n[/tex] sont du type [tex]o(1/n^\frac {3}{2})[/tex]. Autrement dit qu'ils sont "négligeables" devant [tex]\frac {1}{n^ \frac {3}{2}}[/tex], et que ce sont des termes généraux de séries convergentes…
L'équivalent simple de [tex]u_n[/tex] est lui même le terme d'une série convergente...

Dernière modification par Zebulor (24-02-2019 22:29:58)

Michel Coste · 24-02-2019 23:21:45

Zebulor, moi non plus je ne comprends pas bien ce que tu écris. Qu'est ce qui est $o(n^{-3/2})$ ?

Zebulor · 25-02-2019 07:24:09

rebonjour,

pour être plus explicite : quand n tend vers l'infini : le DL de [tex]\frac {1}{\sqrt {(n^3+1)}}[/tex] est [tex]n^{-3/2}+o(n^{-3/2})[/tex]

Michel Coste · 25-02-2019 09:14:22

Pourquoi ne pas simplement dire que $\dfrac1{\sqrt{n^3+1}}$ est équivalent à $n^{-3/2}$ ? Il me semble que tu embrouilles les choses, Zebulor.

Zebulor · 25-02-2019 10:14:13

Fatima était partie sur un DL.. alors j'ai embrayé là dessus. Mais après réflexion, c'était peut être mieux de laisser Fatima rebondir sur ton post #14 Michel Coste...
Le risque d'embrayer c'est parfois d'embrouiller...

Fatima@00 · 25-02-2019 13:11:05

Rebonjour, puisque la limite de arctan est [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] donc mon expression est équivalent a [tex]\frac{\pi}{2n^\frac{3}{2}}[/tex]?

Black Jack · 25-02-2019 13:25:45

Bonjour,

Ceci est-il licite ?

V(n³+1) >= n^(3/2)
1/V(n³+1) <= 1/n^(3/2)

arctan(n) <= Pi/2

arctan/V(n³+1) <= Pi/2 * 1/n^(3/2)

Sn <= U1 + S(de2à+oo) Pi/2 * 1/(x-1)^(3/2) dx

Sn <= arctan(1)/V2 + Pi/2 * (-1/2) * [1/V(x-1)](de2à+oo)

Sn <= arctan(1)/V2 + Pi

Sn est croissante et majorée, elle est donc convergente.

Michel Coste · 25-02-2019 13:50:40

@Fatima : oui, bien sûr.

Zebulor · 25-02-2019 17:51:22

@Fatima : et l'intérêt du post de Black Jack est aussi de faire penser à la comparaison entre séries et intégrales. Ton équivalent de [tex]u_n[/tex] du post #22 permet directement de conclure à la convergence de ta série car [tex]\frac {3}{2}>1[/tex]

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