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lys24

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exercice sur les probabilités

Bonjour,

Je rencontre des difficultés sur cette exercice :

Pour rejoindre le sommet S d'une montagne des Alpes à partir d'un point de départ D, un randonneur
a la possibilité d'emprunter plusieurs itinéraires. Le parcours n'étant pas faisable en une journée, il doit passer une nuit dans l'un des deux refuges se trouvant à la même altitude de 1 400 mètres sur les itinéraires existants : les deux refuges ne sont pas situés au même endroit. On les appelle R1 et R2. Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à 2 500 mètres d'altitude, le randonneur a deux possibilités : il peut atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R3, ou bien atteindre directement le sommet
J'ai joint l'adresse de l'image en dessous :

file:///C:/Users/Caroline/Pictures/image.png

On sait que :

La probabilité que le randonneur choisisse de passer par R1 est égale à 1/3;

La probabilité de monter directement au sommet depuis R1 est égale à 3/4;

La probabilité de monter directement au sommet depuis R2 est égale à 2/3.

Question 1
On désigne par R1 l'événement « le randonneur s'arrête au refuge R1 », et on note de même les événements R2 et R3.
On note S3 l'événement « le randonneur arrive au sommet après s'être arrêté au refuge R3 » et S l'événement « le randonneur arrive au sommet sans s'être arrêté au refuge R3 ».
Reproduire et compléter l'arbre pondéré montrant les trajets possibles.

Question 2
À l'aide de l'arbre pondéré déterminer :

la probabilité que le randonneur ait fait une halte au refuge R3 sachant qu'il a passé la nuit au refuge R1;

la probabilité que le randonneur ait fait une halte au refuge R3;

la probabilité que le second jour le randonneur soit monté directement au sommet.

Question 3
On donne les distances suivantes :

    Distance,                 en km, entre
Le départ et le Refuge1    5
Le départ et le Refuge2    4
Le Refuge1 et le Refuge3    4
Le Refuge2 et le Refuge3     5
Le Refuge1 et le Sommet     6
Le Refuge2 et le Sommet     6
Le Refuge3 et le Sommet    3

Soit X la variable aléatoire représentant la distance parcourue par un randonneur pour aller du départ D au sommet S.
a.    A l’aide de l’arbre, déterminer la loi de probabilité de X.
b.    Calculer l’espérance mathématique de X.
En donner une interprétation.

Mes réponses pour la question 3 :

3.a. U = {DR1S ; DR1R3S ; DR2S ; DR2R3S}
       U = {5 + 6 ; 4 + 5 + 3; 4 + 6; 4 + 5 + 3}
       U = {10 , 11 ; 12 }
Par conséquent, la variable aléatoire X prend les  valeurs : 10 ; 11 ; 12.

xi    10    11    12
Pi    P(X=10) = 4
                  9    P(X=11) = 1
                  4    P (X=12) = 11
                   36

3.b   E(X) = 10 x 4 + 11 x 1 +12 x 11   =  391
             9           4          36               36

Je n’arrive pas à donner une interprétation à la fin de la question 3.b.

Dans l'attente des réponses que vous pourriez me donner.

Lys24

freddy

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Re : exercice sur les probabilités

Salut,

je n'ai pas vérifier tes calculs mais ça a l'air OK.

Pour la dernière question, il faut faire comme si le randonneur partait crapahuter toutes les semaines durant une année ou plus, et donc répétait la situation et les choix aléatoires de parcours.

Du coup, cette espérance mathématique donne la distance moyenne que pourrait parcourir le randonneur s'il souhaitait refaire un certain nombre fois la balade de santé :-)

S'il y a d'autres idées ! ...

Dernière modification par freddy (21-12-2018 14:38:00)

lys24

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Re : exercice sur les probabilités

Salut Freddy,

Merci pour ton explication, elle m'a permis d'y voir plus clair.

freddy

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Re : exercice sur les probabilités

Salut,

autre idée : c'est la distance moyenne qu'il doit s'attendre à faire avant d'entamer la randonnée, quel que soit le choix du circuit. Cette distance a plus sens que de faire une simple moyenne arithmétique car elle tient compte des préférences du randonneur exprimées à travers les probabilités pour sélectionner les chemins qu'il peut emprunter.

La moyenne arithmétique simple fait comme si les choix étaient équiprobables.
Là, il a une nette préférence pour la ligne R2 et sommet, la plus courte en fait mais sûrement la plus difficile en dénivelée.

Dernière modification par freddy (21-12-2018 17:29:40)