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adb09

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Probleme d'ellipses

1) Quand un plan coupe un cylindre vertical, par exemple a 45° on obtient une ellipse, c'est clair
2) Quand on remplace le cylindre par un cone, on obtient aussi une ellipse, et la je ne comprends plus:
_ Tracons un cone ayant sa base horizontale, sa hauteur verticale vers le haut
_ Je le coupe par un plan par exemple a 45°,qui ne passe pas par sa base( sinon on obtient une parabole ou une Hyperbole)
Je m'attend a ce que le plan de coupe soit en forme d'oeuf( courbe fermée avec 2 perigées de longueur differentes) avec la grande perigée vers la base du cone et la petite perigée vers la pointe du cone
Merci a celui qui pourra m'expliquer (attention je suis pas matheux) pourqoi on obtient une ellipse symetrique (pleonasme)
Bien cordialement
Alain

Michel Coste

Invité

Re : Probleme d'ellipses

Plusieurs explications possibles. Je ne sais pas laquelle est susceptible de te convaincre, il faut tout de même un minimum de formation mathématique.

1°) Les équations. Ton cône a disons une équation [tex]z^2=x^2+y^2[/tex], du second degré. Tu coupes par un plan [tex]z=ax+by[/tex], tu portes ça dans l'équation du cône et tu trouves une équation du second degré en [tex]x,y[/tex], c.-à-d. bien l'équation d'une conique (hyperbole, parabole ou ellipse) éventuellement dégénerée. Aucune chance en tout cas de trouver un "oeuf".

2°) L'exposé belge. Je te renvoie à la page wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o … e_Dandelin. On y voit que la section plane est bien l'ensemble des points dont la somme des distances aux deux foyers est constante, définition bifocale habituelle de l'ellipse.

adb09

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Re : Probleme d'ellipses

Bonjour Michel COSTE
Merci pour ta reponse rapide
Le 1) c'est pas pour moi, je te crois sur parole
Le 2) Theoreme de Dandelin
Le shema du Wiki mets bien en evidence l'homothetie des 2 spheres tangentes au plan de coupe definissant les 2 foyers de l'ellipse, et le fait que le plan de coupe fait un angle different avec la directrice gauche et la directrice droite compense la courbure de l'ellipse pour rendre cette ci symetrique
J'espere etre clair, merci de ton aide je suis maintenant convaicu ( malgré mes 73 ans )que la coupe d'un cone est une ellipse
Bien cordialement  Alain