Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
En essayant d'écrire la contraposée de l'axiome d'extensionnalité je suis confronté au problème suivant:
Si $P$ et $Q$ sont deux propriétés compatibles mais que $\neg P$ et $\neg Q$ sont incompatible,
La négation de $\forall x (P(x) \land Q(x))$ est $\exists x (\neg P(x) \lor \neg Q(x))$
Le $\lor$ étant inclusif on arrive à une contradiction.
Remarque: Si on utilise la formulation initiale de Zermelo on n'est pas confronté au problème
Merci de bien vouloir éclairer ma lanterne

Bonjour à tous,
J'ai un petit problème en calcul propositionnel.
Rappel:
\noindent $\mathcal{P}$ ensemble des variables propositionnelles ou propositions\\\\
  $\mathcal{L}$ Langage:\quad $\mathcal{L}=\mathcal{P} \cup \left\lbrace\neg ,\wedge,\vee,\Rightarrow,\Leftrightarrow \right\rbrace
  \cup \left\lbrace ),(\right\rbrace  $ \\
   \indent\indent Parfois on rajoute $\top$ et $\bot$ \quad Resp "toujours vrai" et "toujours faux"\\\\
   $\mathcal{M}(\mathcal{L})$ ensemble des "mots" que l'on peut écrire avec  $\mathcal{L}$\\
  \indent\indent On entend par mot toute suite de symboles écrite avec $\mathcal{L}$\\\\
  $\mathcal{F}$ ensemble des formules propositionnelles. C'est le plus petit sous-ensemble de $\mathcal{M}(\mathcal{L})$ qui a les propriétés suivantes:\\
  \indent(1) $\mathcal{F}$ contient  $\mathcal{P}$\\
  \indent(2) Si $F$ est élément de $\mathcal{F}$, alors $\neg F$ est élément de $\mathcal{F}$\\
  \indent(3) Si $F$ et $G$ sont éléments de $\mathcal{F}$, alors $F\alpha G$ est élément de $\mathcal{F}$\\
  \indent \indent où $\alpha$ est n'importe lequel des connecteurs binaires $\wedge,\vee,\Rightarrow,\Leftrightarrow $\\

Il est indiqué que $\mathcal{F}$ est l'intersection de tous les sous-ensembles de $\mathcal{M}(\mathcal{L})$ qui vérifient les propriétés ci-dessus. Mais soit $A$ un de ces sous-ensemble, il est possible que $F$ soit dans l'intersection et $\neg F$ soit dans la partie de $A$ qui n'est pas dans l'intersection .... Ça me perturbe...
Merci pour vos éclaircissements

Bonjour,
Si E un un ensemble bien ordonné toute partie non vide de E admet un plus petit élément.
Ma question est comment définir un bon ordre sur $\mathbb{R}$ ?
Merci d'avance

Bonjour,
Je propose une démonstration de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ équipotent à $\mathbb{R}$ utilisant
le théorème de Cantor-Bernstein et j'aimerais que l'on me dise si ça fonctionne.

1) Soit $A \in { \mathcal{P}(\mathbb{N})} $, on pose $f(A)=0,1a_0a_1a_2\ldots a_n \ldots$
    avec $a_k = 1 $ si $k\in{A} $ et $a_k = 0 $ sinon.
    $f$ est une injection de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ dans $\mathbb{R}$.

2) Soit $x \in {\mathbb{R}}$ on développe $x$ en base 5 et on obtient $0,a_0a_1a_2\ldots a_n \dots$ où les $a_k \in { \{0,1,2,3,4\}}$
     On pose $g(x) = \{a_0 , 5+a_1 , 10+a_2, \ldots , 5n+a_n , \ldots \}$
     $g$ est une injection de $\mathbb{R}$ dans $\mathcal{P}(\mathbb{N})$.
Et on conclut avec le théorème de Cantor-Bernstein.
Voilà, j'attends vos avis
Merci

Bonjour,
j'ai eu l'idée saugrenue de démontrer Par Récurrence que si $Card(E)=n$ alors
$Card(P(E))=2^n$
(je sais le démontrer avec $(1+1)^n$)
Je coince
Si quelqu'un peut m'aider...
Merci beaucoup