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#151 Re : Entraide (supérieur) » exercice » 21-10-2014 23:00:41
Je ne comprend pas comment choisir l'ordre du developpement de Taylor, ce qui est demandé, c'est de montrer que pour tout [tex]\alpha \in \mathbb{N}, \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |D^{\alpha} \varphi_n (x) - D^{\alpha} \varphi'(x)|=0[/tex]
quel [tex]\alpha[/tex] choisir?
#152 Re : Entraide (supérieur) » exercice » 21-10-2014 17:01:29
J'ai compris pourquoi le support est seulement inclus dans [tex][1-a,b][/tex], et il n'y est pas égale.
Pour ma question 2, on remarque que [tex]\lim_{n \to +\infty} \varphi_n(x)=\varphi'(x)[/tex].
Pour montrer la convergence dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] vers [tex]\varphi'(x)[/tex], on a deux points:
On note [tex]K=[a-1,b][/tex]
1- [tex]\varphi \in \mathcal{D}_K(\mathbb{R})[/tex], par contre je ne sais pas expliquer que [tex]\varphi ' \in \mathcal{D}_K[/tex].
2- Soit [tex]\alpha \in \mathbb{N}^n[/tex], comment écrire
[tex]sup_{x\in K} |D^{\alpha} \varphi_n(x) - D^{\alpha} \varphi(x)|[/tex]
puis calculer sa limite?
#153 Re : Entraide (supérieur) » exercice » 21-10-2014 13:36:29
Ok, alors [tex]supp \varphi_n = [a-1,b][/tex]. J'ai deux questions:
1- pourquoi est-il important de trouver un support qui ne dépend pas de [tex]n[/tex]?
2- J'essaye de montrer que [tex]\varphi_n[/tex] converge dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex], quand [tex]n \to +\infty[/tex].
pour ca, il faut montrer qu'il existe un compact [tex]K[/tex] inclus dans [tex]\mathbb{R}[/tex], tel que
[tex]\varphi_n \in \mathcal{D}_K[/tex] et [tex]\varphi\in \mathcal{D}_K[/tex],
et
[tex]D^{\alpha} \varphi_n[/tex] converge uniformément sur K, vers [tex]D^{\alpha} \varphi[/tex], pour tout [tex]\alpha \in \mathbb{N}^n[/tex].
Avant, il faut trouver [tex]\varphi[/tex] qui est la limite simple de notre suite, mais voilà, quand je passe à la limite, j'obtiens [tex]+\infty.0[/tex] comment on fait?
#154 Entraide (supérieur) » exercice » 20-10-2014 11:08:32
- htina
- Réponses : 10
Bonsoir
Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. Pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex], on pose : [tex]\varphi_n(x)=n\big[\varphi(x+\tfrac{1}{n})-\varphi(x)\big][/tex].
La question est de montrer que [tex]\varphi_n \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex]. Il est clair que [tex]\varphi_n \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})[/tex] puisque [tex]\varphi \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})[/tex], la difficulté est: comment déterminer le support de [tex]\varphi_n[/tex] ?
je commence par poser [tex]supp \varphi = [a,b][/tex], après je ne sais pas.
Merci beaucoup.