Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Je suppose que a_k=k \pi+Pi/2?
Les termes en les a_k ne s'annulent pas car  sin(a_k)=cos(kpi)=(-1)^k donc l y a bien des dirac

Rebonjour, Non Bib tu te trompes, j'ai très bien compris la question (il s'agit de la dérivée au sens des distributions.)

Et j'ai vu que la solution était donné dans ton  premier post (voir ci dessous).

Ce résultat est bien connu et c'est pourquoi (|sin(x)|)'= (cf ma correction dans mon premier post)  au sens des distributions.   

Souvent on illustre l'application de cette propriété à la fonction valeur absolue.

soit f(x)=|x|  alors   g(x)=-1  si x<0  et g(x)=+1 si x>=0. 

Alors f'=g (dist.) 

Par contre
[tex]
f''=g'=2\delta_0[/tex]

Bonjour
Je ne vais pas m'amuser à lire tous les posts précédents et ma réponse est donc peut être déplacée.
Mais pour moi la dérivée de |cos(x)|  et |sin(x)| et je suis étonné de toute la littérature qui suit la question.

Non je corrige  la dérivé c'est  la fonction -sin(x) (quand cos(x) est > 0)   et    sin(x)  (quand cos (x) <0)   

Bonjour, Pour répondre à la question cela demande des hypothèse sur [tex]\Omega[/tex] et aussi de quelles connaissances tu pars.
Sinon je dirai simplement que la formule est bien connues pour des fonctions très régulières et ensuite on raisonne par densité.
Ou alors tu trouvera la réponse détaillée de ta question avec le lien ci-dessous:
(section 2.4 ) 2.4 Formules de Green dans les espaces de Sobolev.

http://www-ljk.imag.fr/membres/Emmanuel … imagef.pdf

bjr, Bonjour,

C'est faux voir avec f(x)=x^3/2+1/2  où f(-1)=f'(0)=0 et f(1) =1 et pourtant la condition n'est jamais vérifiée

Bonjour  Tout espace vectoriel E possède une structure naturelle d'espace affine dont il est l'espace vectoriel associé.
Au bipoint (u⃗ ,v⃗ ) de l'espace affine est associé le vecteur v⃗ −u⃗ .

On peut voir la solution du problème d'une façon un peu différente: Soit  $X=l^2(\N)$ et X'son dual.

L'application linéaire  $\phi$ : $b=(b_n)\in X \mapsto  \phi(b)= \sum a_n b_n$ est continue d'après les hypothèses et  bien sûr le th de Banach-Steinhaus.

Autrement dit, $\phi \in X'.$ il existe donc ( th de rep. de Riesz) $c=(c_n)\in X$  tel que $\phi(b)=\sum a_n b_n =\sum c_n b_n .$
pour tout $b\in X.$

C'est très facile de voir  que $c_n=a_n$ pour tout $n.$ D'où le résultat.

Bonjour
Formellement l'opérateur A est correct. Je pense qu'il faut continuer à écrire les choses: L'opérateur  I+D_xx   (définir son domaine). Ensuite préciser le domaine de A. Ensuite je ne sais pas ce que vous voulez faire, préciser un peu s-v-p.
En général dans ce genre de problème on veut montrer que le problème abstrait admet une solution ....   il faut donc définir les espaces  pour surement appliquer le th Lumer-P.

Je me suis "amusé" hier à regarder les questions sans réponses. Je m'aperçois ici que c'est souvent vous et finalement vos questions tournent toujours autour du même sujet. Je continue donc à vous aider autant que possible.
Vous avez  un e.v (espace vectoriel) muni d'une norme (ou d'un p.s).  Nous l'appelons V (ici V=H^1(R)). Sion dual est noté V' (ici V'=H^(-1)R). Un élément f de V' est une forme linéaire continue (f.l.c) sur V. C'est à dire que l'application f tq
v \in V --> f(v) \in R  est continue sur  V.   En général f(v) s'écrit  <f,v>V',V.
Maintenant notons (.,.)_* ou plus simplement ( , ) le produit scalaire sur V  (p.s).
Soit u\in V  fixé.   L'application    (appelons là  f)  qui a tout v\in V  faire correspondre (u,v) \in R est évidemment une f.l.c sur V. C'est à dire que  f\in V'.

La question naturelle est de savoir si inversement tout élément f\in V' est de la forme  <f,v>=(u,v) , forall v\in V (ceci pour un certain u\in V). Le théorème de Riesz dit que oui (sous certaines hypothèses que je n'ai pas en tête (mais pour H^1 c'est connu..)
Pour le vocabulaire on dit que u représente f.

A qui cela sert. Je pense qu'avec l'usage vous verrez que c'est important d'ailleurs dans une de vos question que j'ai vue hier, il a servi.

Merci de me dire  si cela vous aide...

Oui c'est cela . L'indication n'est pas claire , c'est à dire que je ne la comprend pas mais je n'ai pas besoin d'indication.

Pour l'injectivié c'est le contraire: il faut dire Au=0 implique u=0!!
Pour la surjectivité il faut  comprendre les objets manipulés:
[pour simplifier l'écriture je remplace H^m par V  et H^_m par V' et puis alpha par a. et puis L^2(R^m) par H
c'est dire que par exemple    pour u\in V, v\in v'    <D^(2 a) u, v>_V,V'=(-1)^a < D^a u,D^a v> _H,H
Donc <Au,v>=sum <D^a u,D^a v>_H,H.   En particulier pour u\in v 
<Au,u>=sum <D^a u,D^a u>_H,H, mais ça c'est par def le carré de la norme de u dans V. (i.e (u,u)_H^m).

Maintenant la solution proposée :  Pour T \in H-m il existe un unique u \in H ^m (et non H^-m) tel que
<T,v>_V,V'=(u,v)V,V cela vient du théorème de représentation de Riesz (qu'il faut admettre ici). En gros il dit
qu'un élément du dual de V, c'est à dire est représenter de façon unique par un élément de V.

Ici T est une forme linéaire  sur V      <T,v> est une écriture simplifiée de T(v).    D'autre par pour u\in V  l'application
v->(u,v)_V,V est une forme linéaire. Le th de R dit qu'il existe   un u\in v  tel que  T(v)=(u,v) \forall v \inV.

Une fois cela compris le reste de ce qui est écrit est correct. Finalement  <T,v>=<Au,v>   forall v veutvient dire T=Au? D'où la surjectivité

question 2. D'abord au point (x0_,y_0)=(0,2) le théorème de Cauchy Lips. s'applique et il existe une unique solution locale pasant par (0,2).
Maintenant cette solution se calcule facile (variables séparées). On trouve y(x)=2/(1-2x).  Cette fonction n'est pas définie
x=1/2.  Mais c'est une solution sur  ]-infty, 1/2[. Sur cette ensemble c'est la seule solution qui passe par (0,1) en vertu de CL. Elle ne s'annule pas non plus.
Mais aussi
toute solution globale   sur ]-infty, 1/2[ ne recoupera pas cette fonction car maintenant on peut appliquer Cauchy L.P  en tout x<1/2.