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et pour ma question 2, on a:
[tex]|\langle T_{f_n},\varphi \rangle - \langle \delta,\varphi \rangle| \leq n \displaystyle\int_0^{1/n} |\varphi(x)-\varphi(0)| dx.[/tex]
Par les accroissements finis, il existe [tex]\xi_x \in ]0,x[[/tex], telle que: [tex]\varphi(x)-\varphi(0)=x \varphi'(\xi_x)[/tex]. Ainsi,
[tex]  |\langle T_{f_n},\varphi \rangle - \langle \delta,\varphi \rangle| \leq n \displaystyle\int_0^{1/n} |x \varphi'(\xi_x)| dx  [/tex];
où [tex]M=\sup_{x \in supp \varphi} |\varphi(x)|[/tex]
[tex]\leq n M \displaystyle\int_0^{1/n} x dx = \dfrac{M}{2} n \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{M}{2} n \dfrac{1}{n^2}[/tex] qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini, d'où la convergence.

est-ce que tout est correct svp?

Pardon. J'ai refait les calcul, et j'obtient que
[tex]
u_{\epsilon}=-\dfrac{\varphi(0)}{a} + \varphi'(0) \ln(a) + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi_x) dx
[/tex]
si on essaye de majorer [tex]u_{\epsilon}[/tex], on obtient
[tex]
|u_{\epsilon}| \leq \dfrac{\varphi(0)}{a} + \varphi'(0) \ln(a) + \dfrac{1}{2} \sup_x |\varphi''(x)| (a-\epsilon)
[/tex]
et tout ca ne tend pas vers zéro. Comment on peut déduire que la limite existe?

Ok, alors
[tex]
u_{\epsilon}=2 \dfrac{\varphi(0)}{a} + \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi'(\xi_x)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi'(\xi_x)}{x}dx.
[/tex]
puisque la fonction [tex]\dfrac{\varphi'(\xi_x)}{x}[/tex] est impaire, on a:
[tex]u_{\epsilon}=2 \dfrac{\varphi(0)}{a}[/tex], ainsi, [tex]\langle Pf(\dfrac{1}{x^2}),\varphi \rangle = 2 \dfrac{\varphi(0)}{a}[/tex], donc elle est bien définie.
Pour la linéarité, elle est claire.
Pour la continuité, soit [tex]K=[-a,a][/tex] un compact de [tex]\mathbb{R}[/tex], et soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}_K(\mathbb{R}[/tex]. On a:
[tex]
|\langle Pf(\dfrac{1}{x^2}),\varphi \rangle|= 2|\dfrac{\varphi(0)}{a})| \leq \dfrac{2}{a} \sup_{x\in K} |\varphi(x)| \leq C P_{K,0}(\varphi).
[/tex]
Ce qui montre la continuité, et on déduit que [tex]Pf(\dfrac{1}{x^2})[/tex] est une distribution d'ordre 0.
Ma question est: est-ce que si on choisit [tex]C=\dfrac{2}{a}[/tex], il sera dépenda de [tex]\varphi[/tex] ou de K? puisque la constante que done la continuité, doit être indépendante de K et de [tex]\varphi[/tex]?

J'essaye de simplifier, mais je ne vois pas comment. Si on fait un développement d'ordre 1 (au lieu d'un développement d'ordre 2), [tex]\varphi(x)= \varphi(0) + x \varphi'(\xi_x), \quad \xi_x \in (0,x)[/tex]on obtient:
[tex]
u_{\epsilon}= 2 \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx + 2 \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi'(\xi_x)}{x^2} dx - 2 \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon}.
[/tex]
et rien ne se simplifie. Je ne comprend pas.

Tout d'abord, on remarque que
[tex]\displaystyle\int_{|x|\geq \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx =
\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx
[/tex]
et puisque [tex]\varphi[/tex] est à support compact dans [tex]\mathbb{R}[/tex], on suppose que [tex]supp \varphi[/tex] est inclus dans [tex][-a,a][/tex], et par conséquent
[tex]
\displaystyle\int_{|x|\geq \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx = \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx
+ \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx.
[/tex]
On note
[tex]
u_{\epsilon} = \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx +
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx - 2 \varphi(0)
[/tex].
Le développement de Taylor-Young au voisinage de 0, au point x, nous donne:
[tex]
\varphi(x)=\varphi(0)+x \varphi'(0)+\dfrac{x^2}{2} \varphi''(\xi_{\epsilon}), \quad \xi_{\epsilon}\in (0,x)
[/tex]
On a alors:
[tex]
u_{epsilon}= \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{x \varphi'(0)}{x^2} dx +
\displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{x^2}{2} \varphi''(\xi_x) dx
[/tex]
[tex]
+ \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{x \varphi'(0)}{x^2}dx
+ \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{x^2}{2} \varphi''(\xi_x) dx - 2 \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon}
[/tex]
Si on utilise le fait que
[tex]
\displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx = - \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx
[/tex],
il ne reste que
[tex]-2 \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon}[/tex]
ce qui n'arrange rien. Comment faire ici s'il vous plaît

Bonjour,
je vous prie de m'aider à trouver des réponses concernant mon dernier poste. Merci par avance.

est-ce qu'il y'a une stratégie à suivre, où l'on utilise pas le produit de convolution?
Pour montrer que [tex]T[/tex] est injective, on montre que [tex]Ker T=\{0\}[/tex] ce qui veut dire que [tex]T(f)=0[/tex] implique que [tex]f[/tex] estr nulle presque partout.
[tex]T(f)=0[/tex] implique que [tex]\displaystyle\int_{\Omega} f \varphi = 0[/tex]
mon problème est de finir le raisonnement.

Merci beaucoup pour votre aide.