Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
C'est ça ? :
$\sum\limits_{k=1} ^n \frac{\cos(kx)} {2^k\cos^k(x)} $

Bonsoir,
J'ai aussi l'intuition qu'il faut peut-être utiliser ce lemme mais pas avant d'effectuer quelques transformations sur l'écriture de $\psi$.
On peut déjà commencer par déterminer $\psi$ pour $x \geq x_{0}$ en mettant à jour une équation différentielle en dérivant l'expression :
$\psi ' (x) = C + B \psi$, je n'ai pas fini le raisonnement donc je ne suis pas certains que cela aboutisse mais ça reste une piste supplémentaire.

Bonsoir,
Content de t'avoir aidé.

Bonjour,
Oui je me suis effectivement trompé ^^ mais ça ne change pas grand chose.
On cherche  $ab = 0,25 (n^{2}-1)^{2} $ donc on cherche à décomposer ce produit en deux termes qui semblent convenable et qui pourrait se faire s'annuler les terme avec des puissances se n plus grande que 2, donc prendre $a= 0,5 (n-1)^{2}$ et $b  = 0,5(n+1)^{2}$ semble cohérent.
Normalement avec ça, ça marche

je ne parles pas de deux suites consécutives, je parle de deux nombres $a$ et $b$ :
Pour trouver le résultat je me suis demandé que pourrait être ces $a$ et $b$, donc j'ai bien sûr commencer par factoriser par 4, puis après simplification, j'ai de nouveau regardé le dénominateur, et je me suis demandé que pourrait être $a$ et $b$ de sorte que $ab = 4.(n^{2} - 1)^{2}$. Est-ce que ça t'aide ?

Bonsoir,
C'est exactement la piste qu'à proposé Zebulor ! (que je salue au passage)
Je vais te guider :
Essaye dans un premier temps de mettre le dénominateur sous la forme $(n^{2} - a ) ^{2} + b$.

Bonsoir,
@LCTD il va falloir relire tes cours, parce que ceci est le béaba des espaces complets, une suite convergente est de Cauchy, mais pas forcément l'inverse sauf si l'on se trouve dans un espace complet (ce qu'est $(\mathbb{R}, \mid \cdot \mid)$ par exemple).

Bonjour,
Je ne comprends pas vraiment ta réponse, soit un tel $n$ existe soit il n'existe pas... Qui plus est je n'ai pas imposé d'autres conditions sur $n$ que celui d'être un entier naturel et de vérifier l'inégalité que j'ai écrit plus haut. Tout ce que je t'ai demandé c'est s'il existe un tel entier, grand ou pas.
Donc comme tu l'as dit en faisant tendre $n$ vers un nombre très grand on a une telle inégalité, mais ça reste un peu vague comme justification, je t'en propose donc deux différentes :

1 - Puisque vérifier $x + \frac{1}{n} < E(x) + 1$ revient à vérifier $n > \frac{1}{E(x) + 1 - x}$ il suffit de prendre $n = E(\frac{E(x) + 1 - x})+1$, on a alors que $n \in \mathbb{Z}$ et $n > 0$ le premier point est évident (pour toi aussi ?) et le deuxième l'es un peu moins, cela provient du fait que $E(x) + 1 - x > 0$ (car $E(x) + 1 > x$) et donc $\frac{1}{E(x) + 1 - x} > 0$ et donc $E(\frac{1}{E(x) + 1 - x}) \geq 0$. Donc puisque $n = E(\frac{1}{E(x) + 1 - x}) + 1 > \frac{1}{E(x) + 1 - x}$, on a bien que $x + \frac{1}{n} < E(x) + 1$.

2 - Puisque $x < E(x) + 1$ il existe donc un réel $a > 0 $ tel que $x+a = E(x) + 1$ (en posant $a=E(x) + 1 - x > 0$) donc, $x + \frac{a}{2} < x + 2.\frac{a}{2} = x+a = E(x) + 1$. Soit maintenant $n \in \mathbb{N}^{*}$ tel que $n \geq \frac{2}{a}$, donc $x + \frac{1}{n} \leq x + \frac{a}{2} < E(x) + 1$.

Rq sur la denière preuve : On aurai pu faire beaucoup plus court en disant que puisque $x < E(x) + 1$ il existe $n \in \mathbb{N}^{*}$ tel que $x + \frac{1}{n} < E(x) + 1$, c'est quelque chose de plutôt intuitif et pas si compliqué que ça a montré donc en général, je pense que ce genre d'argumentation suffit.

Pour la suite des opérations, prends cet ensemble : $A = \{ k \in \mathbb{N}^{*} \mid \frac{k-1}{n} < E(x) + 1 \}$ et justifie qu'il en existe un maximum.

Bonjour,
J'ai un doute sur ton raisonnement @menjaoui,
tu écris :
"on a   U_2n = f(U_2n-1) alors sa limite L est solution de l'équation f(x)=x"
Sauf que cette argument à ce niveau là de ta preuve n'est pas valide, même si l'on sait que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent.
Il suffit de prendre la suite $(cos(n \pi))=(u_{n})$, on remarque que $u_{2n} = 1$ et $u_{2n+1} = -1$ et pour $f(x) = -x$ on a $f(u_{n+1}) =f(u_{n})$ et pourtant, en notant $l$ la limite de $(u_{2n})$ on a pas $f(l)=l$.

NB : menjaoui il serait bien de ne pas donner directement la réponse mais de ne donner que des pistes ;)

Bonsoir,
Je pense que tu as juste fais une erreur de formulation !ais je précise quand même :
Le théorème de Darboux dit que la dérivée $f'$ vérifie aussi le théorème de valeurs intermédiaire.
Ce que tu as énoncé est vrai mais ce n'est pas le théorème de Darboux.
Ensuite, ce que tu veux montrer n'est malheureusement pas vrai, en effet il suffit de prendre la fonction partie entière sur $[0;2]$, elle ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires et pourtant elle est tout à fait Riemann intégrable...
Pourquoi donc me dira t'on, et bien c'est parce que la primitive d'une fonction Riemann-intégrable n'est pas partout dérivable en général (il suffit de prendre l'exemple que je viens de donner), en fait elle est presque partout dérivable (c'est à dire qu'elle est dérivable sur un ensemble dont le complémentaire dans cet intervalle est négligeable pour la mesure de Lebesgue, je ne sais pas si tu as vu ce qu'est la mesure de Lebesgue), quoi qu'il en soit la dérivabilité (partout) d'une primitive n'est énoncé dans tes théorèmes que pour une primitive d'une fonction continue.

Bonsoir,
pour la première question il faut utiliser une idée assez importante que je te conseille de comprendre, c'est celle de maximum, je sais ça semble un peu primitif et naïf comme notion mais tu vas voir que cette notion a des conséquences assez forte.
Tout d'abord je supposes que tu es d'accord pour dire que $x < E(x)+1$ ?
Bon et bien, on veut au moins que ton $n$ vérifie cette inégalité : $x + \frac{1}{n} < E(x) + 1$, première question à se poser : Est-ce que ce $n$ existe ? (je te laisse y répondre).
Pour continuer tu dois d'abord répondre à cette question et je vais attendre que tu y répondes car sinon la suite de mes indications donne la réponse.

PS : Il y a une deuxième manière de résoudre cette question, je te la donnerai après que tu ais résolue cette façon de faire.

Bonjour,
La méthode de travail est plutôt quelque chose de personnel, le mieux (je pense) est d'essayer différentes méthodes de travail en changeant judicieusement à chaque fois ce qui ne colle pas avec tes forces et tes faiblesses.
Moi par exemple j'ai une bonne intuition mathématiques, je sais aussi que quand il y a un problème que je n'arrive pas à résoudre, je vais y penser presque tout le temps jusqu'à en trouver la réponse (c'est une force et une faiblesse). Dans mon cas, avec toutes les questions que je me pose constamment et mon cerveau travaillant même en dehors des cours et révisions, la maturation des idées se fait plutôt vite (après ça dépend de la notion et de la "distance" qui me sépare d'elle). Sauf que je sais bien que l'on peut toujours plus faire murir des idées, leur faire prendre de la hauteur, pour ça il faut faire des exercices et les meilleurs exos ce sont ceux que tu arrives à résoudre mais tu t’aperçois que le raisonnement est faux, ou que tu butes sur l'exercice, etc. (quand tu rencontres des difficultés, et l'une des questions que tu dois te poser c'est "pourquoi ?") ce sont ce genre de moment qui te permettent de questionner ce que tu connais et comprends, il ne s'agit pas seulement de comprendre la correction mais de bien saisir les idées principals sous-jacentes et les éventuelles confusions faites sur les notions que tu manipules, et plus encore.