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Pour le calcul de
[tex]
\lim_{n \to +\infty} n^2(\delta_{1/n} + \delta_{-1/n} - 2 \delta_0).
[/tex]
Soit [tex]\varphi \in\mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex] On a:
[tex]
\langle \delta_{1/n} + \delta_{-1/n} - 2 \delta_0,\varphi\rangle = \langle \delta_{1/n},\varphi \rangle + \langle \delta_{-1/n},\varphi\rangle - 2 \langle \delta_0,\varphi \rangle = \varphi(1/n) + \varphi(-1/n) - 2 \varphi(0).
[/tex]
En écrivant le développement de Taylor-Lagrange d'ordre 1, pour [tex]\varphi(1/n)[/tex] et [tex]\varphi(-1/n)[/tex], au voisonage de 0, on a:
[tex]\varphi(1/n) = \varphi(0) + 1/n \varphi'(\xi_{1/n}), \quad \xi_{1/n} \in (0,1/n)[/tex],
et
[tex]\varphi(-1/n) = \varphi(0) - 1/n \varphi'(\xi_{-1/n}), \quad \xi_{-1/n}) \in ]-1/n,0[.[/tex]
Ainsi,
[tex]\langle \delta_{1/n} + \delta_{-1/n} - 2 \delta_0,\varphi \rangle = \dfrac{1}{n} [\varphi'(\xi_{1/n}) - \varphi'(\xi_{-1/n})[/tex].
On a:
[tex]|\varphi'(\xi_{1/n}) - \varphi'(\xi_{-1/n})| \leq |\varphi'(\xi_{1/n}) + \varphi'(\xi_{-1/n})| \leq |\sup_{x \in K} \varphi'(x) + \sup_{x \in K} \varphi'(x)| \leq 2 \sup_{x\in K} |\varphi'(x)|[/tex]
où
[tex]supp \varphi[/tex] est inclus dans K; qui est compacte.
Ainsi, on peut majorer [tex]|\langle \delta_{1/n} + \delta_{-1/n} - 2 \delta_0,\varphi \rangle|[/tex] par [tex]\dfrac{M}{n}[/tex] qui tend vers 0, et par conséquent, lab limite est 0.

2- Calculer [tex]\lim_{n \to +\infty} n^3(\delta_{1/n} - \delta_{-1/n} - \dfrac{2}{n} \delta'_0).[/tex]
Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}[/tex]. On a:
[tex]\langle n^3(\delta_{1/n} - \delta_{-1/n} - \dfrac{2}{n} \delta'_0,\varphi \rangle = n^3 \varphi(\dfrac{1}{n}) - n^3 \varphi(-\dfrac{1}{n}) + \dfrac{2}{n} \varphi'(0).[/tex]
En faisant le développement de Taylor-Lagrange d'ordre 4 pour [tex]\varphi(1/n)[/tex] et [tex]\varphi(-1/n)[/tex], on obtient:
[tex]
varphi(1/n)=\varphi(0) + \dfrac{1}{n} \varphi'(0) + \dfrac{1}{n^2} \varphi''(0) + \dfrac{1}{n^3} \varphi^{(3)}(0) + \dfrac{1}{n^4} \varphi^{(4)}(\xi_{1/n})
[/tex]
et
[tex]
\varphi(-1/n)=\varphi(0) - \dfrac{1}{n} \varphi'(0) + \dfrac{1}{n^2} \varphi''(0) - \dfrac{1}{n^3} \varphi^{(3)}(0) + \dfrac{1}{n^4} \varphi(\xi_{-1/n})
[/tex]
Ainsi,
[tex]n^3 \langle \delta_{1/n} - \delta_{-1/n} - \dfrac{2}{n} \delta'_0,\varphi \rangle = \dfrac{2}{n^3} \varphi^{(3)}(0) + \dfrac{1}{n^4} [\varphi^{4)}(\xi_{1/n}) - \varphi^{(4)}(\xi_{-1/n})][/tex]
qui tend vers 0, la limite vaut donc 0.

Est- ce que vous avez une remarque? svp.
Merci beaucoup.

Pour le calcul de
[tex]
\lim_{n \to + \infty} (\delta_0 - n \delta_{1/n})''.
[/tex]
Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]
\langle (\delta_0 - n \delta_{1/n})'',\varphi \rangle = \langle \delta_0 - n \delta_{1/n} , \varphi'' \rangle = \psi(0) - n \psi(1/n)
[/tex]
en notant [tex]\psi = \varphi''[/tex].
En faisant un developpement de Taylor-Lagrange d'ordre 1, on obtient:
[tex]
\psi(0)-n \psi(\dfrac{1}{n})= \psi(0) - n \psi(0) - \psi'(\xi_n), \quad \xi_n \in (0,n)
[/tex]
Bien sur, ca ne donne rien. Qu'est ce qu'on utilise ici?
Merci beaucoup.

Bon, voici ce que j'ai fait.
1- pour le calcul de
[tex]
\lim_{n \to +\infty} n (\delta_{1/n} - \delta_{-1/n})
[/tex]
Par un développement limité d'ordre 1 de Taylor-Lagrange, on a:
[tex]

\varphi(1/n) - \varphi(-1/n)=\dfrac{2}{n} \varphi'(0) + \dfrac{1}{n^2} [\varphi''(\xi_n) + \varphi''(\xi_{-n})[/tex]
On a:
[tex]
\dfrac{1}{n} [\varphi''(\xi_n) + \varphi''(\xi_n)] \leq \dfrac{1}{n} \sup_x |\varphi''(x)|
[/tex]
et le terme de droite de cette dérnière inégalité, tend vers 0.
Ainsi, la limite qu'on cherche vaut [tex]-2 \varphi'(0)=- 2 \delta'.[/tex]

2- Calculer
[tex]
\lim_{n \to +\infty} n^2(\delta_{1/n} \delta_{-1/n} - 2 \delta_0).
[/tex]
Là, je ne sais pas trop comment écire
[tex]
\delta_{1/n} \delta_{-1/n}
[/tex]

3- Calculer
[tex]
\lim_{n \to +\infty} n^3(\delta_{1/n} - \delta_{-1/n} - \dfrac{2}{n} \delta'_0)
[/tex]
En faisant un développement limité de Taylor Lagrange d'ordre 3, on obtient que pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}[/tex], on a:
[tex]
\langle \delta_{1/n} - \delta_{-1/n} - \dfrac{2}{n} \delta'_0,\varphi \rangle = \dfrac{2}{n} \varphi'(0) + \dfrac{1}{n^3} [\varphi'''(\xi_n) - \varphi'''(\xi_{-n})] - \dfrac{2}{n} \varphi'(0)
[/tex]
On sait que
[tex]
|\varphi'''(\xi_n) - \varphi'''(\xi_{-n}| \leq \sup_x \varphi'''(x)
[/tex],
mais celà ne nous aide pas à trouver la limite. Que faire?

4- Calculer
[tex]
\lim_{n \to +\infty} (\delta_0 - \dfrac{1}{n} \delta_{1/n})''.
[/tex]
Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]
\langle (\delta_0 - \dfrac{1}{n} \delta_{1/n})'', \varphi \rangle = \langle \delta_0 - \dfrac{1}{n} \delta_{1/n}, \varphi'' \rangle
[/tex]
[tex]
= \varphi''(0) - \dfrac{1}{n} \varphi''(\dfrac{1}{n} = \psi(0) - \dfrac{1}{n} \psi(\dfrac{1}{n}),
[/tex]
où on a noté [tex]\varphi''[/tex] par[tex] \psi[/tex].
mais après, en essayant les accroissements finis, ca ne donne rien.

Merci beaucoup.

Dans le problème de mon premier poste, si au lieu d'utliser les accroissements finis, on a majorer [tex]\displaystyle\int_0^{1/n} |\varphi(x) - \varphi(0)| dx[/tex] par [tex]\sup_{x \in K} |\varphi(x) - \varphi(0)|=M[/tex], où [0,1/n] est inclus dans n, et K est indépendant de n. Est-ce que c'est correcte?
Merci.

Mais voilà, à une question qui dit: montrer que la suite [tex]g_n(x)=(\sin (nx))^2[/tex] ne converge pas dans [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R})[/tex] vers 0,
en calculant [tex]\lim_{n \to + \infty} \langle T_{g_n},\varphi \rangle = \lim_{n \to +\infty} \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \sin^2(nx) \varphi(x) dx[/tex]
Donc,
puisque [tex]\langle T_{g_n},\varphi \rangle= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(x) dx - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int \cos(2nx) \varphi(x) dx[/tex]
le second terme du membre de droite tend vers 0, donc
[tex]\lim_{n \to +\infty} \langle T_{g_n},\varphi \rangle = \langle \dfrac{1}{2},\varphi \rangle[/tex]

Qu'est ce qu'on doit conclure alors, puisque la distribution 1/2 n'existe pas, et malgrès ca on trouve 1/2?

Ok, ca marche. Dérnière question. Comment justifier le fait que l'intégrale [tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}} e^{-y^2} y dy[/tex] soit finie?
Merci beaucoup.

Je vais peut être posé une question bête, mais je me mélange un peu. La suite [tex](f_n)[/tex] n'est pas conontinue, et pourtant elle est intégrable. C'est normal? Je veux dire que pour une fonction soit intégrable, elle doit être continue. Non?

oui, c'est [tex]a \delta_0[/tex]; mais comment l'avez vous trouvé? svp

La quéstion qui vient après, c'est: montrer que [tex]f_n^2[/tex] ne converge pas dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R})[/tex].
Voici ce que j'ai fait. Soir [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]\lim_{n \to + \infty} \langle T_{f_n^2},\varphi\rangle = \lim_{n \to +\infty} \displaystyle\int_0^{1/n} n^2 \varphi(x) dx = \lim_{n \to + \infty} n^2 \displaystyle\int_0^{1/n} \varphi(x) dx.[/tex]
Comme [tex]\varphi[/tex]  est une fonction test, alors [tex] \displaystyle\int_0^{1/n} \varphi(x) dx=M[/tex], ainsi,
[tex]\lim_{n \to + \infty} \langle T_{f_n^2},\varphi \rangle = \lim_{n \to + \infty} (n^2 M) = + \infty[/tex], d'où la non convergence de [tex]f_n^2[/tex] dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R})[/tex].
Avez vous une remarque, et est-ce qu'il y'a une méthode plus directe pour y arriver? (par exemple en utilisant la question précédente

C'est ce qui est dit dans la méthode 2.

Mais les résultats sont différents. Étudier la convergence d'une fonction est différent de la convergence de la distribution déduite de cette fonction, et ce n'est pas la même limite. Non?
si une fonction L^1_loc convergence, c'est équivalent à la convergence déduite de cette fonction?