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En fait $D$ est la boule unité. C'est bien ça?

C'est très bien compris. Il me reste la dérnière question de l'exercice.
on sait que $f(x)= \ln(|x|)$ est de classe $C^{\infty}(\mathbb{R}^2 \ \{0\})$ et que $\Delta f=0$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^2)$.
Et on vient de montrer que $f \in L^p_{loc}$ pour tout $p < +\infty$ et que $\partial_i f \in L^p_{loc}$ pour tout $p<2$.
On pose
$D=\{(r,\theta), \theta \in ]0,\pi/2[, r \in ]0,1[\}$. Montrer que $u \in L^2(D), \Delta u \in H^{-1}(D)$ n'implique pas que $u \in H^1(D)$.

Je pense que c'est $f$ qui va nous servir de contre exemple. Mais nous on a fait des preuves pour $L^p_{loc}$ et pas pour $L^p$. Comment on raisonne ici?

S'il vous plaît, aidez moi à conclure et trouver $Ff$.

Oui alors on a
$$
\delta_{-a}=(2 \pi)^{-1} \overline{F}(e^{iax})  =(2 \pi)^{-1} \overline{F}f  \implies \overline{F}f=(2 \pi) \delta_{-a}.
$$
alors on a $Ff(-\xi)= (2 \pi) \delta_{-a}$. Le fait d'appliquer Fourier de $f$ au point $-\xi$ et non $\xi$ me perturbe. Comment on obtient $Ff$ au lieu de $\overline{F}f$?

Oui j'y ai pensé. Cette formule dit que
$$
f=(2 \pi)^{-n} \overline{F} (Ff)
$$
je n'arrive pas à l'appliquer pour trouver $Ff$ avec les éléments qu'on a. Pouvez vous m'aider? Comment utiliser le fait que $\overline{F} \delta_a =f$?

Merci Roro. J'aimerai bien que tu m'expliques comment utiliser Fourier pour répondre à la question de l'exercice.
Merci par avance.

Cordialement

Bonsoir
j'ai essayé de rédiger une réponse à ma question initiale mais je n'y arrive toujours pas. Pouvez vous me montrer comment on commence le raisonnement je vous pris.

Pourquoi c'est faux d'écrire $||u(x)||_{H^1}$?

Dans la réponse 1, on a que la convergence $H^1$ implique la convergence simple. Pour tout $x$ fixé dans $\mathbb{R}$ on écrit $|\varphi_j(x)| \leq c ||\varphi_j(x)||_{H^1}$ ou bien  $|\varphi_j(x)| \leq c ||\varphi_j||_{H^1}$ ?

Je suis tout à fait d'accord. Si on suppose que $(x-a)T=0$ comment on peut montrer que $T=\alpha \delta_a$?

Bonsoir
il me semble que j'ai mal posé ma question.
On a le problème
$$
\partial_t u - \Delta u +F(u)= f(t,x), t>0, x \in \mathbb{R}^n; u(x,0)= u_0
$$
où $f$ est définie sur $[0,T]$.
1- première remarque, le problème est posé pour tout $t \in \mathbb{R}_+$ mais le second membre est définie sur $[0,T]$. Est-ce normal?
2- ensuite on a un résultat d'existence et d'unicité qui dit que il existe $\delta>0$ telle que ce problème admet une solution unique $u$ définie pour tout $t \in [0,\delta]$. Et aussi que cette solution est prolongeable à $[0,T]$.
Ma question est: quand la solution est définie sur $[0,\delta]$ alors on dit qu'elle est locale. Et quand on l'a prolonge à $[0,T]$ alors elle est maximale? ou globale?

Merci par avance pour toute aide.