Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Enfin, une autre question me taraude.
Il est écrit plus bas que :

Par hypothèse de récurrence, N est dans l'enveloppe convexe de ${A_1,…,A_{p−1}}$, qui est-elle même contenue dans l'enveloppe convexe de ${A_1,…,A_p}$.
Je ne vois pas bien pourquoi.

Bonsoir,

oui c'est bien cela.
Soit $P\in\mathbb{C}[X]$.
Je note $p=deg(P)$ de sorte que $P\in\mathbb{C}_p[X]$.

Et je comprends votre remarque !
$\mathbb{C}_p[X]$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie $p+1$ de l'espace vectoriel normé $\mathbb{C}[X]$. C'est un fermé.
Mais pas forcément un borné ! Donc il n'est pas compact :/

Je ne peux donc pas appliquer la propriété avec l'application $\phi:P\in\mathbb{C}_p[X]\to\mathbb{R}$ définie par $\phi(P)=||\phi(P)||$.

Merci beaucoup.
Et le fait que $\bar{B}(0,1)$ soit compact vient du théorème de Riesz. Est-ce bien cela ?

Ok !
En prenant $y=\frac{e}{||e||}$ où e est l'élément neutre pour la multiplication interne.

On a : $||y||=1$

Donc : $0\le ||ay||\le N(a)$

Or : $||ay||=||a\frac{e}{||e||}||=\frac{1}{||e||}||a||=||a||$.

D'où : $0\le ||a||\le N(a)$.

Ainsi, $N(a)=0 \Rightarrow a=0$.

Dans la question 3, dois-je préciser que $\mathcal{A}$ est un $\mathbb{C}$-ev de dimension finie et donc la boule unité fermée est compacte par le th. de Riesz ?

Merci d'avoir pris le temps d'écrire ceci.
En effet, j'ai conscience d'en mettre plus que nécessaire et il faut que ma rédaction aille plus vite à l'essentiel. Ce que j'essaye de faire.

Ce que je n'arrive pas à voir.
Est-ce que vous avez un exemple sur la droite réelle ?

Bonsoir Fred.
Oui, j'ai dit que g était bien définie en utilisant le critère de Riemann pour les séries de Riemann et le fait que $f(x)=O(\frac{1}{x^2})$ pour $|x|$ tendant vers $\infty$.

Je me demande pourquoi je n'ai pas pensé à utiliser encore ce fait là pour mon calcul de limite.

Allons-y :
$f(x)=O(\frac{1}{x^2})$ signifie qu'il existe $N>0$ et $C>0$ telle que $\forall x>N \Rightarrow|f(x)|\le C\frac{1}{x^2}$

D'où $-C\frac{1}{x^2}\le f(x)\le C\frac{1}{x^2}$ et en faisant tendre x vers ±$\infty$, on obtient qu'effectivement $\lim_x f(x)=0$ en ±$\infty$.

Finalement :
Posons $u=x+2(N+1)\pi \rightarrow_{N\to+\infty}+\infty$.
Alors, par continuité de f,  $\lim_{N\to+\infty} f(x+2(N+1)\pi)=\lim_{u\to+\infty}f(u)=0$.

De même, en posant $v=x-2N\pi \rightarrow_{N\to+\infty}-\infty$.
Alors, par continuité de f,  $\lim_{N\to+\infty} f(x-2N\pi)=\lim_{v\to-\infty}f(u)=0$.

D'où l'on déduit l'égalité (*).

Qu'en pensez-vous ?

Bonjour.
Montrons que :
$inf\{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \} = inf\{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \leq m+1 \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \}$.

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Pour cela on montre que :
(1) $inf\{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \} \le inf\{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \leq m+1 \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \}$
Puis que :
(2) $inf\{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \} \ge inf\{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \leq m+1 \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \}$
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Allons-y pour (1) :
On a l'inclusion suivante :
$\{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \leq m+1 \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \} \subset \{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \}$

D'où l'on tire que :
$inf\{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \} \le inf\{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \leq m+1 \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \}$

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Allons-y pour (2) :

Soit $g \in \mathbb{R}_{n}[X]$.

Cas 1 : $\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \le m+1$
Dans ce cas :
$\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \in \{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \leq m+1 \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \}$
Donc :
$\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \ge inf\{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \leq m+1 \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \}$

Cas 2 : $\lvert \lvert f-g \rvert \rvert > m+1$
Dans ce cas, en utilisant $\epsilon=1$ dans la définition de la borne inf, on obtient l'existence de $g_\epsilon\in\mathbb{R}_n[X]$ avec $m\le \lvert\lvert f-g_\epsilon\rvert\rvert<m+1$

Des cas 1 et 2 découle que :
$\lvert \lvert f-g \rvert \rvert > m+1>\lvert\lvert f-g_\epsilon\rvert\rvert\ge inf\{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \leq m+1 \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \}$.

Par conséquent, $\forall g \in \mathbb{R}_{n}[X]$, on a :
$\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \ge inf\{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \leq m+1 \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \}$

En passant au inf, on obtient donc :
$inf\{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \} \ge inf\{\lvert \lvert f-g \rvert \rvert \leq m+1 \mid g \in \mathbb{R}_{n}[X] \}$
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On a donc bien (1) et (2) donc l'égalité, ce qui achève la démonstration.

Qu'en pensez-vous ?