Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Groumpf, que voilà une réponse qui respire la mauvaise foi ^^
La "consolation" c'est l'utilisation des outils développés par Galois, pour, entre autres, le codage / conservation de données (typiquement : codes de Reed-Solomon pour lire les CD --excusez-vous du peu-- ou encore le RAID 5.1), le cryptage (ne serait-ce que le RSA), sans compter les multiples applications en maths. La dernière fois que j'ai fait du Galois (~10 ans), je bidouillais des fonctions méromorphes sur les surfaces de Riemann, et la simple implication "ma fonction à le bon ordre dans l'extension" + irréductibilité sauve des heures de travail (va donc faire un changement de coordonnées holomorphes sur une série entière, tu vas voir c'est fun).

Morphismes (du groupe) de Galois
Si tu veux juste utiliser explicitement le groupe de Galois, tu as déjà des utilisations bien pratiques pour les décompositions en éléments simples par exemple. Une fois que tu as passé quelques heures à trouver la partie polaire pour une racine donnée, tu peux utiliser explicitement le groupe de Galois et l'unicité de la DES pour trouver l'intégralité des parties polaires des autres racines du même facteur irréductible du dénominateur. C'est le même principe que la conjugaison dans [tex]\mathbb{C}[/tex], sauf que souvent le groupe de Galois a bien plus d'un seul élément (NB : je ne parle pas de DES sur [tex]\mathbb{C}[/tex], j'ai en tête des corps bien plus exotiques).

Pour la résolution d'équation par radicaux
Et si ce qui t'intéresse est uniquement la résolution d'équations par radicaux, bien sûr que ça marche, ça a été fait pour ! Si tu cherches une version "tout fait à la main", tu peux lire du F. Klein ou même du C.F. Gauss sur la cyclotomie constructible, tu y trouveras ton bonheur (attention, la terminologie moderne n'y apparaît pas, évidemment). C'est le cas groupe cyclique, avec juste l'utilisation des polynomes symétriques pour trouver les coefs des équations.
Pour ton exemple en particulier, Wikipedia. C'est le même principe que chez Gauss on utilise les polynomes symétriques / sommes de Newton pour obtenir les racines à partir des coefficients. Le processus s'itère lorsque tu as un groupe résoluble d'ordre quelconque, tu peux alors trouver une tour d'extensions de corps, avec à chaque étage de la tour des équations résolubles par radicaux qui expriment les générateurs de l'étage suivant par radicaux sur l'étage d'avant (et donc par récurrence, tout le monde s'exprime avec pleins de radicaux sur l'étage de base).

GK, qui n'a pas pu s'empêcher de réagir face à ce crime de lèse-Galois :P

Oui, apparemment le problème provient des commandes en \n : \neq, \noteq, \ngtr, etc.

Entièrement d'accord. Mais le texte est le cadet de mes soucis : c'est surtout dans le cas des équations, parfois difficiles à déchiffrer, que c'est agaçant. Le texte on peut toujours s'en sortir avec un peu de paléographie ^^ Enfin, wait and see...

Tout à fait d'accord, du blanc partout c'est un peu trop lumineux (l'habitude des tableaux noirs, sans doute ^^).

Les inscriptions sauvages de bots sur les forum sont un problème récurrent, hélas. Les bots répondent aux questions de maths maintenant ? Les CAPTCHA commencent aussi à devenir obsolètes (y'a qu'à voir detexify pour voir les progrès de la reconnaissance de formes), qu'est-ce qu'on va fezé )O: ? À moins que ce ne soient des vrais humains derrière, mais une inscription toutes les 10 minutes, waw...

Enfin, encore bien joué et bon courage pour les derniers réglages, c'est souvent ça le plus long ^^

GK

Tâchons de dépatouiller un peu tout.

La méthode de Freddy est très élégante, mais pas achevée : il faut traiter le cas fg+gf=0 (pour te répondre oui, je sais faire, c'est très facile), et surtout montrer que [tex]\alpha=\pm 1[/tex] (et là il faut soit employer ta méthode soit trouver un autre argument).

Si en revanche tu utilises ta méthode, séparément pour [tex]\alpha\neq 1[/tex] et [tex]\beta\neq -1[/tex], le seul que tu ne traites pas est : que se passe-t-il si jamais on a simultanément [tex]\alpha=1[/tex] et [tex]\beta=-1[/tex] ? La réponse est ... eh bien qu'il n'y a rien à faire dans ce cas puisqu'on a déjà ce qu'on veut ;-) Donc modulo cette petite gymnastique, ta conclusion est correcte.

PS : bon courage à nos admins qui ont l'air de travailler d'arrache-pied ce soir ! :-)

Salut tous les deux :)

Freddy, je crois que tu es allé un peu vite en besogne, il y a des f et des g qui ont disparu... J'avais pris la même piste, mais je n'ai rien trouvé de probant.

Mstafa, dans ta preuve tu as utilisé les propriétés de la trace pour certaines étapes. As-tu seulement pensé à appliquer la trace sur l'égalité de départ ? Il me semble que ça tue le cas [tex]\alpha=1[/tex]. Sinon je n'ai pas vu de grosse erreur, juste quelques petites fautes parce que tu vas trop vite ;-)

EDIT : en fait non ça ne marche pas, j'ai fait la même boulette que Mstafa ^^

Bravo !

Je suis arrivé à la même majoration par une route différente : l'inégalité de Hölder dans [tex]l^2[/tex]. Attention toutefois à ta rédaction : ce que tu majores ce sont les sommes partielles, et tu en déduis que la somme totale existe / converge.

Salut Mstafa

Dans ta disjonction de cas, tu as oublié un cas important :
Cas n°3 : Et si [tex]n^2|a_n|[/tex] n'a pas de limite ?

Et sinon pour te répondre, il est évident que la condition de mathieu ne peut être remplie : en transformant le terme général, toute série peut s'écrire sous la forme [tex]\sum {n}^{2}{{a}_{n}^{2}}[/tex]. Et ça se saurait si les termes généraux de toutes les séries -mêmes convergentes- pouvaient être majorés par [tex]\dfrac{1}{n}[/tex] !
Tu peux facilement construire des contre-exemples lacunaires, comme celui-ci :
[tex]\left\{\begin{array}{l}
a_n = \dfrac{2}{n^2}\ \ \txt{si}\ n=p^2\\
a_n = 0\ \txt{sinon}
\end{array}\right.[/tex]
De sorte que [tex]\sum_n n^2 a_n^2 = \sum_{n=p^2} \dfrac{4n^2}{n^4} = \sum_p \dfrac{4}{p^2} < +\infty[/tex], bien que le terme général soit régulièrement quatre fois plus grand que [tex]\dfrac{1}{n}[/tex]...

Cordialement,
GK

Salut fuxi

Il manque une rédaction solide pour appeler ça "rigoureux", mais ton idée est correcte :-)

Si tu ne t'en sors pas au voisinage de 1, essaie de faire le changement de variable u=1-t, puis cherche un équivalent en 0+ Ce sera peut-être plus facile de cette façon.

Pour le calcul, je serai curieux de savoir à quel changement de variables tu penses. Tu as tout de même raison sur un point : même avec l'IPP ce n'est pas simple !

Salut Albert

Pour te répondre, étant donnée une équation générale, on ne peut rien dire du tout (étonnant non ?). Est-ce que c'est ça que tu cherches ?

Salut mathieu !

Une intersection avec un singleton, c'est pourtant simple ;-)

Il n'y a que deux sous-ensembles de [tex]\{x\}[/tex], à savoir [tex]\{x\}[/tex] lui-même et [tex]\varnothing[/tex]. Le résultat de l'intersection ne peut donc être que l'un des deux.

Or on a pris comme hypothèse que l'élément x était dans l'ensemble x=y, donc l'intersection avec [tex]\{x\}[/tex] est non vide :-)

Salut Picatshou,

Il reste une petite coquille : si tu prends n dans [tex]-\mathbb{N}[/tex], ton ensemble de définition sera [tex]\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}[/tex], puisque comme tu le dis x doit éviter toutes les valeurs -n.

As-tu déjà entendu parler de la convergence normale des séries de fonctions ? Si oui, alors tu pourras facilement conclure en travaillant sur des sous-ensembles compacts de ton ensemble de définition.
Pour l'équivalent, c'est en fait très simple, puisqu'en chaque -N, une seule des fonctions de ta somme "explose", la somme des autres étant finie. Il suffit donc de "sortir" celle-ci de la somme, l'équivalent tombera tout seul.

Salut à toi imed :-)

J'avoue ne pas comprendre exactement ta question. Si tu te demandes d'où vient ce nom, il me sembe que le groupe symétrique --ainsi que toute la théorie des groupes d'ailleurs-- est né lorsque Galois et cie étudiaient les équations algébriques, et permutaient les racines des polynômes. Je ne sais pas comment ça s'exprimait à l'époque, mais aujourd'hui on obtiendrait un morphisme de corps (une symétrie au sens algébrique donc, comme la conjugaison complexe) en permutant certains générateurs du corps de décomposition de l'équation polynôme. Ces symétries étaient fondamentales à l'époque pour répondre à diverses questions, comme par exemple : trouver d'autres polynômes symétriques définis sur un corps de décomposition donné (i.e. invariants par permutations des générateurs), ce qui revient en fait trouver les facteurs irréductibles du polynôme de départ en étudiant les cycles de racines. Désolé, je me suis quelque peu laissé embarquer dans la technique ^^
Attention à cette interprétation : le groupe obtenu en permutant les racines d'un polynôme pris au hasard ne sera PAS le groupe symétrique tout entier, à moins que ce polynôme soit lui-même irréductible.

D'après ta tournure de phrase, on pourrait aussi croire que tu fais une opposition entre "symétrie" et "non commutatif". Mais les symétries ne commutent pas entre elles ! En fait, une façon géométrique de se représenter les groupes des permutations à n éléments est de penser aux symétries (euclidiennes) du (n-1)-simplexe régulier dans [tex]\mathbb{R}^{n-1}[/tex] : le triangle équilatéral donne [tex]\mathfrak{S}_3[/tex], le tétraèdre régulier donne [tex]\mathfrak{S}_4[/tex], etc.

J'espère avoir répondu à tes interrogations :-)

Cordialement,
GK