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Bonjour,

Je découvre les suites exactes courtes.

Je considère donc [tex]G^{'}[/tex], [tex]G[/tex] et [tex]G^{''}[/tex] trois groupes et [tex]f\in Hom(G',G)[/tex] et [tex]g\in Hom(G,G^{''})[/tex], et le diagramme suivant de la suite exacte courte :

[tex]1\to G^{'}\to^{f} G \to^{g} G^{''} \to 1[/tex]

En remarque, il est dit qu'il est évident que dans ce cas, [tex]f[/tex] est injective et [tex]g[/tex] est surjective.
Pas pour moi...

Ma première question est la suivante : que représente le [tex]1[/tex] ? Le groupe ne contenant que l'élément neutre ?

Ensuite, par définition d'une suite exacte, on sait que [tex]Im(f)=ker(g)[/tex].
En considérant deux éléments [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] de [tex]G^{'}[/tex] (pour montrer que [tex]f[/tex] est injective), on peut déjà affirmer que si [tex]f(a), f(b)\in Im(f)=ker(g)[/tex], alors [tex]g(f(a))=g(f(b))=e_{G^{''}}[/tex].

Je ne vois pas comment en déduire que [tex]a=b[/tex].

Merci pour vos indications.

Bonjour,

Soit H un sous-groupe de (G,*) et [tex](\frac{G}{H})={ah,a\in G}[/tex] l'ensemble des classes à gauche.
On considère l'opération [tex]f:G\to S(\frac{G}{H})[/tex] telle que [tex]f(g)(a)=g.(a.H)=(g*a).H[/tex].

Pourquoi a-t-on que [tex]ker(f)=\cap_{a\in G} aHa^{-1}[/tex] ?

Quand je regarde ce qu'il se passe, on a [tex]b\in ker(f)[/tex] équivaut à [tex]f(b)\in e_G.H=H[/tex] équivaut à [tex](g*b).H=H[/tex]

Et je ne vois pas comment poursuivre...

Bonjour,

Soit [tex]f : \Omega_1 \to \Omega_2[/tex], et soit [tex]F_2[/tex] une tribu sur [tex]\Omega_2[/tex].
On définit [tex]\sigma(f)=\{f^{-1}(B), B\in F_2\}[/tex].
On suppose que [tex]F_2=\sigma(\mathfrak{C})[/tex] avec [tex]\mathfrak{C}[/tex] une famille de parties de [tex]\Omega_2[/tex].
Alors la tribu [tex]\sigma(f)[/tex] est engendrée par [tex]f^{-1}(\mathfrak{C})=\{f^{-1}(C), C\in \mathfrak{C}\}[/tex].

Dans la démonstration, on pose [tex]T=\{B\in \Omega_2, f^{-1}(B)\in \sigma(f^{-1}(\mathfrak{C}))\}[/tex].
Puis, on dit que comme [tex]\mathfrak{C}\subset T[/tex], alors [tex]F_2=\sigma(\mathfrak{C})\subset T[/tex].

Mais pourquoi [tex]\mathfrak{C}\subset T[/tex] ? Qu'est-ce qui fait que pour tout [tex]C\in \mathfrak{C}\in P(\Omega_2)[/tex], on a bien [tex]f^{-1}(\mathfrak{C})\in \sigma(f^{-1}(\mathfrak{C}))
[/tex]
Ce n'est pas que je ne comprends absolument pas d'où cela vient, mais c'est surtout que je n'arrive pas à m'en convaincre rigoureusement.
J'imagine cependant que la raison en est évidente.
Par ailleurs, en admettant cela, je comprends les rouages de la preuve.

Merci d'avance pour vos indications.

Bonjour,

Je cherche à démontrer que le cercle unité privé d'un point n'est pas ouvert dans [tex]R^2[/tex].

Pour cela, j'ai commencé par regarder ce qu'il se passait avec le cercle unité.
Pour [tex]a\in R[/tex], en considérant [tex](u_n)\ge 0[/tex] définie par [tex]u_n=\frac{ne^{ia}}{n+1}[/tex] (indication de l'énoncé) pour tout [tex]n\ge 0[/tex], on remarque que [tex]u_n\notin S^1[/tex], et que [tex]\lim_{n\to +\infty} u_n=e^{ia}\in S^1[/tex].
Ainsi, [tex]R^2-S^1[/tex] n'est pas fermé, et donc son complémentaire [tex]S^1[/tex] n'est pas ouvert.

Maintenant, en notant [tex]A[/tex] le cercle unité privé d'un point, je dois montrer que [tex]A[/tex] n'est pas ouvert.
Pour cela, je montre que son complémentaire n'est pas fermé, autrement dit que [tex]R^2-A[/tex] n'est pas fermé.
Je note [tex]e^{ia}[/tex] le point dont le cercle [tex]S^1[/tex] est privé, donc [tex]A=S^1-\{e^{ia}\}[/tex].

On a [tex]u_n=\frac{ne^{ia}}{n+1}\in R^2-A[/tex] et [tex]\lim_{n\to +\infty} u_n=e^{ia}\notin R^2-A[/tex] et donc [tex]R^2-A[/tex] n'est pas fermé, donc [tex]A[/tex] n'est pas ouvert.

Qu'en pensez-vous ?

Merci pour vos indications.

Bonjour,

Je cherche à démontrer la proposition suivante :

Soient [tex]G[/tex] et [tex]H[/tex] des groupes, [tex]K[/tex] un sous-groupe de [tex]G[/tex], [tex]L[/tex] un sous-groupe de [tex]H[/tex] et [tex]f\in Hom(G,H)[/tex].
1) Si [tex]K[/tex] est un groupe normal dans [tex]G[/tex], alors [tex]f(K)[/tex] est normal dans [tex]f(G)[/tex].
2) Si [tex]L[/tex] est est un groupe normal dans [tex]H[/tex], alors [tex]f^{-1}(L)[/tex] est normal dans [tex]G[/tex]. En particulier, [tex]Ker f[/tex] est normal dans [tex]G[/tex].
3) Le centre [tex]Z(G)[/tex] de [tex]G[/tex] est un sous-groupe normal de [tex]G[/tex].

Pour 1).
Soit K un groupe normal dans [tex]G[/tex].
Alors, pour tout [tex]g\in G[/tex] et tout [tex]k\in K, g.k.g^{-1}\in K[/tex].
Or, [tex]f\in Hom(G,H)[/tex], donc [tex]f(g).f(k).f(g)^{-1}=f(g.k.g^{-1})\in f(K)[/tex] et donc [tex]f(K)[/tex] est normal dans [tex]G[/tex].
(J'utilise ici le fait que la restriction de [tex]f[/tex] à [tex]K[/tex] est aussi un homéomorphisme de [tex]K[/tex] dans [tex]H[/tex])

Pour 2).
Soit L un groupe normal dans [tex]H[/tex].
Alors pour tout [tex]h\in H[/tex] et pour tout [tex]l\in L, h.l.h^{-1}\in L[/tex].
Montrons que [tex]f^{-1}(L)[/tex] est normal dans G, c'est-à-dire que pour tout [tex]g\in G[/tex] et tout [tex]\alpha \in f^{-1}(L)[/tex], [tex]g.\alpha.g^{-1}\in f^{-1}(L)[/tex].
Comme [tex]f\in Hom(G,H)[/tex], alors [tex]f(g.\alpha.g^{-1})=f(g).f(\alpha).f(g)^{-1}[/tex].
Or, [tex]f(G)\in H[/tex] et [tex]f(\alpha)\in L[/tex] et donc [tex]f(g.\alpha.g^{-1})\in L[/tex], car [tex]L[/tex] est normal dans [tex]H[/tex].
Ainsi, [tex]g.\alpha.g^{-1}\in f^{-1}(L)[/tex]. et donc [tex]f^{-1}(L)[/tex] est normal dans [tex]G[/tex].

En particulier, pour [tex]L=\{0_L\}[/tex], on a [tex]f^{-1}(\{0_L\})=ker f[/tex]
De plus, pour tout [tex]h\in H[/tex] et pour tout [tex]l\in L=\{0_L\}[/tex], on a : [tex]h.l.h^{-1}=h.0_L.h^{-1}=0_L\in L=\{0_L\}[/tex] donc [tex]L[/tex] est normal dans [tex]H[/tex].

Pour 3).
Soit i l'application de [tex]G[/tex] dans [tex]Aut(G)[/tex], qui à tout [tex]a\in G[/tex] associe [tex]i_a[/tex] l'application de [tex]G[/tex] dans [tex]G[/tex] qui à a associe [tex]i_a(x)=axa^{-1}[/tex].
Or, par définition, [tex]Z(G)=ker i[/tex]. J'aimerais pouvoir dire que [tex]i\in Hom(G,H)[/tex] pour pouvoir conclure grâce à 2).
Je sais que [tex]i\in Aut(G)[/tex], mais est-ce que cela implique que [tex]i(G)\subset H[/tex] avec [tex]H\subset G[/tex] ?

Merci pour vos indications.

Bonjour,

On considère deux exposants conjugués p et q, et pour tout [tex]g\in L^q([0;1])[/tex] l'application [tex]l_g[/tex] qui à [tex]f\in L^p([0;1])[/tex] associe le réel [tex]l_g(f)=\int_0^1 fgdm[/tex].

On me demande de montrer que [tex]l_g[/tex] est une forme linéaire continue, et que [tex]||l_g||=||g||_q[/tex] (on pourra poser [tex]f=g|g|^{q-2}[/tex])

J'ai montré facilement que [tex]l_g[/tex] était une forme linéaire. Je laisse la continuité pour la fin...

J'ai pu montrer que [tex]f=g|g|^{q-2} \in L^p([0;1])[/tex]. En particulier, en remarquant que [tex]p(q-2)=q-p[/tex], et en appliquant l'inégalité de Hölder, on y arrive.

J'ai pu enfin démontrer que pour tout [tex]g\in L^q([0;1])[/tex], on a : [tex]||g||_q\ge ||l_g||_p[/tex] (en appliquant l'inégalité de Hölder).

J'essaye maintenant de démontrer l'inégalité inverse, à savoir [tex]||g||_q\le ||l_g||_p[/tex]. Et là je tourne en rond.

Je sais par ailleurs que [tex]||l_g||_p=sup_{f\neq 0} \frac{||l_g(f)||_R}{||f||_p}[/tex], que je n'ai pas encore utilisé.