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et pour ca s'il vous plaît
Calculer [tex]|x|=r=\sqrt{x_1^2 + x_2^2}[/tex]. Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^2)[/tex]
puisque la norme de[tex] |x|[/tex] est ainsi, cela signifie que[tex] x=(x_1,x_2)[/tex]. On a:
[tex]\langle |x|,\varphi \rangle = \displaystyle\int_{\mathbb{R}^2} \sqrt{x_1^2+x_2^2} \varphi(x_1,x_2) dx_1 dx_2 [/tex]
On fait le changement de variables [tex]x_1 = r \cos \theta, [/tex], [tex]x_2 = r \sin \theta[/tex], avec [tex]r\in \mathbb{R}[/tex], et [tex]\theta \in [0,\pi][/tex], et on obtient
[tex]= \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \displaystyle\int_0^ {\pi} r \varphi(r \cos \theta, r \sin \theta) dr d\theta[/tex].
Comment continuer le calcul?

Merci beaucoup pour l'aide.

Bien évidemment! Pardon Fred, milles excuses, et mercie pour votre patience.

Et donc, S(x,t) est aussi croissante pour tout x et pour tout t. C'est bien ca?

Que voulez vous dire par il n'y a pas beaucoup de fonctions décroissantes qu vérifient P(0)=P(1)=0?

Ok, et donc [tex]C(s)=P^{-1}(P(s))[/tex] est croissante, si [tex]P[/tex] est décroissante?

y-a-il un moyen d'arriver à la conclusion que [tex]\Theta(x,t)-\Theta(x,t-h))(S(x,t)-S(x,t-h)) \geq (S(x,t)-S(x,t-h))^2[/tex]

En révisant, je ne comprend pas une chose ici. on a trouvé que [tex]\lim_{n \to +\infty} \langle T_n,\varphi \rangle = \langle \dfrac{1}{2},\varphi \rangle[/tex]
ca signifie que T est la distribution constante 1/2, or que si une distribtion est constante, elle doit valoir 0 (par linéarité), donc ce qu'on doit dire, c'est que la distribution est [tex]\displaystyle\int 1/2 \varphi dx[/tex] et pas 1/2. C'est celà?

Ok, alors soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]\langle T'_1,\varphi \rangle = - \langle T_1, \varphi'(x) \rangle = \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi'(x) dx - \displaystyle \int_0^{+\infty} c \varphi'(x) dx.[/tex]
En utilisant l'intégration par parties, on obtient que:
[tex]\langle T'_1,\varphi\rangle = - \displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi (x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \varphi(x) dx[/tex]
on peut dire que c'est égale à[tex] -2 \displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi(x) dx[/tex]
c'est qui [tex]T'_1[/tex] dans ce cas?

[tex]
I= \displaystyle\int_{\mathbb{R}} |x| \varphi(x) dx = - \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx.
[/tex]
En utilisant l'intégration par parties, on obtient:
[tex]
I= -[\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_{-\infty}^0 + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{-\infty}^0 x^2 \varphi'(x) dx +
[\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_0^{+\infty} - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \varphi'(x) dx.
[/tex]
Ainsi, puisque [tex]  -[\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_{-\infty}^0=0 [/tex], et [tex]  [\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_0^{+\infty}=0,    [/tex] on a:
[tex]
I= I= + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{-\infty}^0 x^2 \varphi'(x) dx
- \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \varphi'(x) dx
[/tex]