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Pourquoi on ne peut pas s'en sortir sans $\psi_0$?
On peut dire que par Urysohn il existe $\psi_j \in \mathcal{D}(\Omega_j)$ tel que $0 \leq \psi_j \leq 1$ et $\psi_j=1$ au voisinage $K'_j$ de $K_j$ (on peut prendre ce voisinage ouvert). On remarque que $V= \bigcup_{j=1}^n K'_j$ est un voisinage ouvert de $K$ et on a alors $\sum_{j=1}^n \psi_j > 0$ sur $V$. Il suffit alors de poser $\varphi_j= \dfrac{\psi_j}{\sum_j \psi_j}$ qui satisfait que c'est une fonction test sur $\Omega_j$ et sa somme vaut 1 sur $V$ un voisinage de $K$. Donc pourquoi chercher à construire la fonction $\psi_0$ ?

Cordialement.

Je m’intéresse à la démonstration de ce théorème. Ça commence par ceci.
Soit $(\Omega_j)_j$ une famille d'ouverts de $\mathbb{R}^n$ et soit $K$ un compact de $\mathbb{R}^n$ tel que $K \subset \bigcup_{j=1}^n \Omega_j$. Alors d'après un théorème du cours, il existe des compacts $(K_j)$ tels que $K_j \subset \Omega_j$ pour tout $j=1,\ldots,n$ et $K \subset \bigcup_{j=1}^n K_j$.
En appliquant le lemme d'Urysohn sur $K_j$, il existe $\psi_j \in\mathcal{D}(\Omega_j)$ telle que : $0 \leq \psi_j \leq 1$ et $\psi_j=1$ sur un voisinage $K'_j$ de $K_j$ (on choisit ce voisinage ouvert).
Jusque là c'est bon, après je ne comprends pas le reste de la démonstration.
D'un autre côté, on a $V= \bigcup_{j=1}^n K'_j$ un voisinage ouvert de $K$ et on remarque que $\sum_{j=1}^n > 0$ sur $V$.
Puis il existe $\theta \in \mathcal{D}(V)$ tel que $\theta=1$ sur un voisinage $W$ de $K$.
Remarque que $1-\theta(x)= \psi_0(x)= 1$ si $x \in \complement V$ et $0$ si $x \in W$. et que $1-\theta$ n'est pas une fonction test.
On pose maintenant $\varphi= \dfrac{\psi_j}{\sum_{i=0}^n \psi_i} \in \mathcal{D}(\Omega_j),\  j=1,\ldots,n$.
On remarque que $\sum_{i=0}^n \psi_i > 0$ car pour $x \in V$ on a $\sum_{j=0}^n \psi_j = \sum_{j=1}^n \psi_j + \psi_0 > 0$ et si $x \in \complement V$ alors $\psi_0=1$ et donc $\sum_{j=1}^n \varphi_j = \dfrac{\sum_{j=1}^n \psi_j}{\sum_{i=0}^n \psi_i}$ est bien défini.
On remarque que pour $x \in W$ on a $\psi_0 =0 \implies \sum_{j=1}^n \varphi_j =1$ en sachant que $W$ est un voisinage de $K$.

Je ne comprends pas pourquoi on a introduit la fonction $1-\theta=\psi_0$ pourquoi on l'a écrit sous la forme $1-\theta$ et je n'arrive pas à comprendre la suite logique de ce raisonnement.
Merci par avance de m'aider à démêler tout ça.
Cordialement.

Oui il y avait une coquille dans mon cours.

Bonsoir
si $\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ alors il existe $a>0$ telle que $Supp(\psi) \subset [-a,a]$.
Si on pose $\psi_0(x)= \dfrac{\psi(x)}{\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \psi(x) dx}$. Pourquoi est-ce qu'on a $Supp(\psi_0) \subset [-1,1]$?

Bonjour Fred
je ne comprend pas comment le fait que la norme soit infinie fait que $\sup_{x \in K}|D^\alpha \varphi(nx)|$ ne dépend pas de $n$. Qu'est ce qui empêche le $\sup \varphi(nx)$ de dépendre de $n$?

$\Delta u = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
On a $\dfrac{\partial u}{\partial x}= -2\pi \sin(t) \sin(2 \pi x) \cos(2 \pi y)$ et $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}= -4 \pi^2 \sin(t) \cos(2 \pi x) \cos(2 \pi y)$ on a aussi $\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}= -4\pi^2 \sin(t) \cos(2 \pi x) \cos(2\pi y)$ donc
$$
\Delta u= -8 \pi^2 \sin(t) \cos(2 \pi x) \cos(2 \pi y).
$$
Non? Où est l'erreur? Stp

Bonjor Black Jack,
j'ai reformulé ma question. Pouvez-vous m'aider?
Cordialement

Cette fonction n'existe pas par le lemme d'Urysohn?

Je n'arrive pas à comprendre comment tu fais l'intégration par parties ici. Peux-tu donner plus de détails? S'il te plaît.