Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Concernant l'exercice 9 du chapitre des anneaux,
(lien : https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo )

La question 2 affirme que pour x dans Q, soit x est dans Zp soit x^(-1) est dans Zp. Je voulais juste savoir si x et son inverse peuvent tous les 2 être dans Zp. En effet, prenons p = 2 (premier). On sait que 5/9 est dans Zp car pgcd(9;2) = 1 mais 9/5 est aussi dans Zp.

Je vous remercie d'avance pour vos réponses !

Bonjour à tous, voici l'énoncé de mon exercice :
" Soient p, q deux nombres premiers distincts et G un groupe abélien d'ordre pq. Montrer que G est cyclique "

Donc tout d'abord, nous remarquons que G admet un/des p-Slyow et q-Sylow ( d'ordre respectif p et q )
Supposons p > q et notons np le nombre de p-Sylow et nq le nombre de q Sylow.

On sait que np | q et np = 1 mod p. Comme p > q, on a donc np = 1
On sait aussi que nq | p et nq = 1 mod q, donc nq = 1 ou nq = p.

Pour nq = 1, il n'y a pas de soucis. On sait que le p-Sylow admet (p-1) éléments d'ordre p  ( car p est premier est seul 'e' est d'ordre 1 ). Pareil pour le q-Sylow qui admet (q-1) éléments d'ordre q.

On sait que pour x dans G, ordre(x) appartient dans { 1 ; q ; p ; pq }

G admet donc 1 élément d'ordre 1 (e), (p-1) élément d'ordre p et (q-1) élément d'ordre q. Donc il y a 1 + (p-1) + (q-1) = p+q-1 éléments d'ordre différent de pq. On sait que pq > p+q-1 car pq - ( p+q-1) = p(q-1) - (q-1) = (p-1)(q-1) > 0 car p > 1 et q > 1 ( car p et q sont premiers ).

Donc G admet forcément des éléments d'ordre pq car |G| = pq, donc G est cyclique.

C'est pour le cas ou nq = p qui pose problème. Je réalise le même raisonnement. On sait de plus que deux sous-groupes d'ordre premier égal sont soit égaux ou ont pour seul élément commun 'e' . Dong je trouve que G admet donc 1 élément d'ordre 1 (e), (p-1) élément d'ordre p et p(q-1) élément d'ordre q. Donc il y a 1 + (p-1) + p(q-1) = pq éléments d'ordre différent de pq. Mais comme |G| = pq, G n'est donc pas cyclique. Le cas nq = p n'est donc pas possible ?

Je me retrouve donc coincé. Je ne suis pas très bon en structure algébrique donc c'est possible que vous voyer plusieurs erreurs dans ma démonstration. Je vous remercie d'avance de vos retours !

Bonjour à tous, voici l'énoncé de l'exercice :
<< Soit G un groupe tel que G est différent de {e} et tous ses éléments ont un ordre qui divise 2. Montrez que si G est fini, alors son ordre est une puissance de 2 >>

Je me suis débrouillé afin d'apporté une réponse, mais cela n'a rien à voir avec la correction que j'ai pu voir. Alors je me rends sur ce forum pour vérifier si ma correction est correcte ou non :)

Voici ce que j'ai réalisé :
" Comme G admet des élément d'ordre 2, alors |G| = 2*q avec q entier naturel non-nul. Posons q = ( 2^n ) * t avec n entier naturel et t entier naturel impair. donc |G| = 2^(n+1)*t.
Raisonnons par l'absurde.  On suppose que G n'a pas un ordre qui est une puissance de 2, cela revient à dire que t est impair et plus grand que 1. Forcément, t est un produit de nombre premier impair. Posons t = (p^r) * l avec n entier naturel > 1, p nombre premier impair > 1,
et l nombre impair tel que p ne le divise pas . Donc |G| = 2^(n+1) * (p^r) * l.
Comme p ne divise ni 2, ni l, G admet un ou plusieurs p-Sylow. Soit H un p-Sylow, nous savons que pour x dans H, ordre(x) | |H|. On sait aussi que ordre(x) = 2 car x est un élément de G. Donc 2 | p^r => Contradiction. Donc G a forcement un ordre qui est une puissance de 2. "

je vous remercie d'avance de vos retours !