Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour tout le monde, bonjour Fred.

Effectivement, comme [tex]G[/tex] agit sur lui-même et que, dans ce cas, les orbites forment une partition de [tex]G[/tex], alors le cardinal de chaque orbite divise le cardinal de [tex]G[/tex].
Ainsi, comme [tex]card(G)=p^n[/tex], alors pour tout [tex]1\le j\le r[/tex] tel que [tex]Card(O_{x_j})\ge 2[/tex], on peut écrire que [tex]Card(O_{x_j})=p^s[/tex] avec [tex]s[/tex] strictement plus grand que [tex]0[/tex].

Or, [tex]p^n=Card(Z)+\sum_{Card(O_{x_j})\ge 2,1\le j\le r} Card(O_{x_j})[/tex] donc [tex]p^n=Card(Z)+(p^{s_1}+p^{s_2}+...+p^{s_r})[/tex] avec [tex]p^{s_1}=Card(O_{x_1})[/tex], etc

Le but est donc de montrer que [tex]Card(Z)>1[/tex]. Et je n'ai pas encore utilisé le fait que [tex]p[/tex] était premier.

Pour en revenir à mon problème, à savoir montrer que le centre de tout p-groupe est non trivial, on considère donc l'action de G sur lui-même par conjugaison, et l'équation des classes s'écrit :

[tex]\forall 1\le j\le r[/tex], [tex]card(G)=card(Z)+\sum_{card(O_{x_j})\ge 2}Card(G,x_j)[/tex]

et donc [tex]\forall 1\le j\le r, p^n=card(Z)+\sum_{card(O_{x_j})\ge 2}Card(G,x_j)[/tex]

Or, d'après Lagrange, [tex]card(Z)[/tex] divise [tex]card(G)=p^n[/tex].

Je ne vois pas comment progresser...

En fait Fred, pour résumer, je cherche à appliquer l'équation des classes pour l'action de G sur lui-même par conjugaison, ce qui assurera, apparement, que le centre de G n'est pas réduit à 0.

Merci beaucoup Paco !

Merci Fred pour tes deux réponses.

J'ai toujours des automatismes qui m'échappent ^^

Bonjour Fred.
Effectivement, j'ai oublié de différencier les deux C.

Je recommence.
Bonjour,

Je souhaite montrer que [tex]T=\{B\subset\Omega_2 ∶f^{-1}(B)∈\sigma(f^{-1} (C))\}[/tex] est une tribu sur [tex]\Omega_2[/tex], avec les hypothèses suivantes : [tex]f[/tex] est une application de [tex](\Omega_1,\mathcal{F_1})[/tex] dans [tex](\Omega_2,\mathcal{F_2})[/tex], [tex]\mathcal{F_2}=\sigma(\mathcal{C})[/tex] pour une certaine famille [tex]\mathcal{C}\subset P(\Omega_2)[/tex] et pour tout [tex]C\in \mathcal{C}[/tex], on a [tex]f^{-1}(C)\in \mathcal{F_1}[/tex].

Montrons que [tex]\Omega_2\in T[/tex]. Pour cela, je cherche à trouver [tex]\mathcal{C}[/tex] et [tex]C[/tex] qui vérifient les hypothèses.
Choisissons [tex]\mathcal{C}=P(\Omega_2)\subset P(\Omega_2)[/tex].

Alors pour [tex]C=\Omega_2\in \mathcal{C}=P(\Omega_2)[/tex] donne [tex]f^{-1} (\Omega_2)\in f^{-1} (\mathcal{C})[/tex], avec [tex]f^{-1} (\Omega_2 )\subset\Omega_1\in F_1[/tex].

Or, [tex]f^{-1} (\mathcal{C})\subset\sigma(f^{-1} (\mathcal{C}))[/tex] donc [tex]f^{-1}(\Omega_2)∈σ(f^{-1}(\mathcal{C}))[/tex].
En conclusion, [tex]\Omega_2\in T[/tex].

Bonjour,

Histoire de terminer ce problème...
On avait montré, avec l'inégalié de Hölder, que [tex]||l_g||\le ||g||_q[/tex].

Ensuite, en considérant [tex]f=g|g|^{q-2}[/tex], on remarquait que d'une part, [tex]\int_0^1 |f|^pdm=(||g||_q)^q<\infty[/tex] et d'autre part, que :

[tex]l_g(f)=\int_0^1 fgdm=\int_0^1 |g|^qdm=||g||_q^q[/tex].

Or, [tex]||g||_q^q=||g||_q^{\frac{q}{p}+1}=||g||_q^{\frac{q}{p}}||g||_q=||f||_p||g||_q[/tex].

Ainsi, pour [tex]f=g|g|^{q-2}[/tex], on a [tex]l_g(f)=||f||_p||g||_q[/tex], soit [tex]\frac{|l_g(f)|}{||f||_p}=||g||_q
[/tex] et donc [tex]||l_g||= \sup_{||f||_p\neq 0} \frac{|l_g(f)|}{||f||_p}\ge ||g||_q[/tex].

On a donc bien [tex]||l_g||=||g||_q[/tex].

Bonjour Fred,

D'accord, je vais essayer.

Entre temps, j'ai remarqué que [tex]||f(\lambda,x)||_E=||\lambda x||_E= |\lambda| ||x||_E[/tex]. L'application [tex]f[/tex] étant de plus bilinéaire, elle est continue.

Effectivement, merci Fred.

Pour l'injectivité de [tex]f[/tex], en considérant [tex]f_0 : 1\to G'[/tex] avec [tex]Im(f_0)=ker(f)[/tex].
Pour [tex]a\in 1[/tex], on a [tex]f_0(a)=f_0(e)=e[/tex] car [tex]f_0[/tex] est un morphisme de groupes et donc [tex]Im(f_0)={e}=ker(f)[/tex] et donc [tex]f[/tex] est injective.