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tout [tex]u \in \mathbb{R}[/tex] s'écrit par [tex]u=u^+ + u^-[/tex], je parle de la partie négative habituelle.
Et non, je cherche à savoir, si [tex]u \in H^1_0[/tex] et [tex]\delta > 0[/tex], alors est ce que [tex](u-\delta)^- \in H^1_0[/tex]? (pas la partie positive comme vous l'indiquez).
Merci beaucoup.

Et si au lieu de l'inégalité, j'utilisais l'égalité des accroissements finis? Ca donnerai que [tex] (C(u') - C(u''))=  C'(u)(u'-u'')  [/tex]  et ce dernier est [tex]\geq \min_{s \in [0,1] } C'(s) (u'-u'')[/tex]?
Merci beaucoup.

Est-ce que l'égalité des accroissements finis suffit? on a
[tex](U(u')-U(u''),u'-u'')= (u'-u'',u'-u'')_{L^2(\Omega_1)} +(C(u')-C(u''),u'-u'')_{L^2(\Omega_1)}  [/tex],
et pas les accroissements finis, [tex](C(u')-C(u'')) = C'(u) (u'-u'') \geq \min_{s \in [0,1]} C'(s)(u'-u'')[/tex].
Donc,
[tex](U(u')-U(u''),u'-u'')\geq  (u'-u'',u'-u'')_{L^2(\Omega_1)} +C (u'-u'',u'-u'')_{L^2(\Omega_1)}  [/tex], où  [tex]C=\min_{s \in [0,1]} C(s) \geq (C+1) (u'-u'',u'-u'')_{L^2(B)}[/tex].
C'est bon?

Fred s'il vous plaît, quel est votre avis? écrire [tex]F(ηj)[/tex] a un sens, non?

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[EDIT]by Yoshi - Modérateur
Ceci est le 3e post demandant une réponse.
Un suffisait largement. Le reste c'est du harcèlement...
Attention !

Bonjour,
F est linéaire, et on cherche à montrer que[tex] |F(\eta'_j) - F(\eta''_j)| \geq C |\eta'_j - \eta''_j|[/tex].
On a:
[tex]||F(\eta') - F(\eta'')||^2_{\mathbb{R}^n} = ||F(\eta' - \eta'')||^2_{\mathbb{R}^n} = \sum_{1 \leq j \leq n} (\eta'_j-\eta''_j)^2 ||\psi_j||^2_{L^2} \geq (\min_{1 \leq j \leq n} ||\psi_j||^2_{L^2}) \sum_j (\eta'_j - \eta''_j)^2 = C ||\eta - \eta''||^2_{\mathbb{R}^n}[/tex]

Est-ce qu'on peut en déduire que pour tout [tex]1 \leq j \leq n[/tex],  [tex] |F(\eta'_j) - F(\eta''_j)| \geq C |\eta'_j - \eta''_j|[/tex]?
Merci beaucoup.

oui, je l'ai fait. C'est une matrice diagonale, et ses coefficients sont [tex]\eta_j ||\psi_j||^2_{L^2}[/tex], le problème est qu'on ne peut pas déterminer son signe. Non?

[tex] F[/tex] est définie de la manière suivante:
[tex]\{\eta_j\}_{1 \leq j \leq n} \to u=\sum_j \eta_j \psi_j \to \{(u,\psi_k)_{L^2}\}_{1 \leq k \leq n}[/tex]
c'est une composée de deux fonction, en fait.
ma  question est, est-ce qu'on peut déduire de l'inégalité [tex](F(\eta') - F(\eta'')).(\eta' - \eta'') \geq C ||\eta'-\eta''||^2_{\mathbb{R}^n}[/tex] que[tex] |F(\eta') - F(\eta'')| \geq C_1 |\eta' -\eta''|[/tex]?
Merci beaucoup.

1- Alors on ne peut pas comparer [tex]||u'-u''||^2[/tex] avec [tex] |\eta'-\eta''|[/tex]?
$\psi_j$ est orthonormale dans $H^1_{per}(B)$, alors sa norme vaut 1. Non? (bon, cette base est orthogonale dans $L^2$, mais elle est orthonormale danq $H^1_{per}$,
sinon, on peut minorer avec le min de tout les [tex]||\psi_j||[/tex]?
Merci beaucoup

On sait seulement que [tex]\psi_j[/tex] est une base orthogonale de [tex]L^2(B)[/tex], et qu'elle est orthonormale dans [tex]H^1_{per}(B)[/tex].

1- Aussi, ce qui nous intéresse c'est de voir si [tex](F(\eta') - F(\eta'')). (\eta' - \eta'') \geq |\eta' - \eta''|^2[/tex]. puisque il est égale à quelque chose de  positive, ca ne peut pas aider? Sinon, quelle relation on peut trouver entre [tex]||u'-u''||^2[/tex] et[tex] |\eta'-\eta''|^2[/tex] ?
est-ce qu'il est correcte alors, de dire que[tex] ||u'-u''||^2 = C |\eta'-\eta''|^2[/tex] avec[tex] |\eta' - \eta''|^2 = \sum_j |\eta'_j - \eta''_j|^2[/tex] et [tex]C=||\psi_j||^2[/tex]?

Merci beaucoup.

Pour chaque [tex]k[/tex], on a: [tex](u',\psi_k)=\sum_j (\psi_j,\psi_k)=\eta'_k||\psi_k||^2[/tex] et [tex](u'',\psi_k)=\eta''_k||\psi_k||^2[/tex]
Ainsi,
[tex](u'-u'',u'-u'')_{L^2(B)} = (\eta'_k-\eta''_k, \eta'_k - \eta''_k) ||\psi_k||^2[/tex]
ca ne donne pas[tex] \sum_{j=1}^n (\eta'_j-\eta''_j)^2 ||\psi_j||^2[/tex], je ne comprend pas pourquoi
[tex]F(\eta')-F(\eta'')).(\eta' - \eta'') = (u'-u'',u'-u'')_{L^2(B)}[/tex].

En effet, si j'essaye d'écrire [tex](u'-u'',u"-u''); [/tex] j'obtiens ceci:
[tex](u'-u'',u'-u'')= (u'-u'',\sum_j \eta'_j \psi_j - \sum_j \eta''_j \psi_j) = (u'-\sum_j \eta'_j \psi_j) - (u'',\sum_j \eta''_j \psi_j)[/tex]
[tex]= \sum_j \eta'_j (u',\psi_j) - \sum_j \eta''_j (u'',\psi_j)[/tex]
et comme on a:
[tex](u',\psi_j)=\sum_k \eta'_k (\psi_k,\psi_j) = \eta'_j ||\psi_j||^2[/tex] et [tex](u'',\psi_j) = \sum_k \eta''_k (\psi_k,\psi_j) = \eta''_k ||\psi_j||^2[/tex]
,
alors
[tex](u'-u'',u'-u'')= \sum_j(\eta'_j)^2 ||\psi_j||^2 - \sum_j (\eta''_j)^2 ||\psi_j||^2 = \sum_j [(\eta'_j)^2 - (\eta'_j)^2] ||\psi_j||^2[/tex]
Mais ce n'est pas ce qu'il faut trouver. Comment faire? s'il vous plaît.
Merci beaucoup.

C'est l'application définie de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] à valeurs dans  [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Pardon, j'ai corrigé mon premier post. Merci beaucoup.