Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous.
[tex](O;\vec{u};\vec{v})[/tex] est le plan complexe.A tout point M d'affixe z on associe le point M' d'affixe Z tel que:
[tex]Z=\frac{1}{z^2}[/tex] et   [tex]z\neq{0}[/tex].
1°)on pose  [tex]z=re^{i\theta}[/tex].
a)Ecrire Z sous forme exponentielle.
b)Zo est  un nombre complexe non nul fixé,est-il possible de trouver zo vérifiant  [tex]Z_0=\frac{1}{z_0^2}[/tex]?
2°)on suppose |z|=1.
a)connaissant M construisez M'.
b)déterminer les points M tels que Z=z.
3)(d) est la demi-droite d'origine O privée de O.
a)déterminer l'ensemble des points M' quand M parcourt (d).
b)déterminer l'ensemble des points M quand M' parcourt (d).

Réponses.
1)a) [tex]Z=(\frac{1}{r^2})e^{-i2\theta}[/tex]......(1).
b) on a Zo fixé donc on pose  [tex]Zo=Roe^{iao}[/tex] donc [tex]zo=\left(\frac{1}{\sqrt{Ro}}\right)e^{-i\frac{ao}{2}}[/tex].zo existe.
2°)|z|=1  donc |z|²=1. |Z|=1/|z|²=1 donc OM'=1.Le point M' est sur le cercle de centre O et de rayon 1.
D'apres (1) [tex](\vec{u};\vec{OM'})=-2\theta[2\pi][/tex] l'angle theta connu il est facile de construire M'.
b)Z=z.on obtient z^3=1;les racines cubiques de l'unité.Les points M sont les sommets du triangle équilateral
sur le cercle unité et un sommet est (1;0).
3)c'est là que ça ne va pas.J'ai voulu traiter la question analytiquement en ayant y=ax et X+iY=1/(x+iy)² pour
avoir X et Y en fonction de x et y mais je n'ai rien pu en déduire.Rien qu'en utilisant l'ecriture exponentielle je n'y
arrive pas.
Merci de corriger mes fautes et m'aider pour la question trois.

J'aimerais s'il vous plait que vous m'expliquiez la présence de e(base du logarithme népérien donc en Analyse)dans les nombres complexes.
complexes.

Bonjour à tous.

Bonne année et bonne santé à vous tous.
ABC est un triangle rectangle en A.O est le milieu de [BC].
[tex]\phi[/tex] est le cercle inscrit dans le triangle ABC.
I est le milieu de [OA].
A tout point M du plan on associe les points P et Q tels que :
[tex]\vec{MP}=2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}[/tex]  et  [tex]\vec{MQ}=2\vec{MA}-\vec{MB}-\vec{MC}[/tex].
1°)Montrer que I est barycentre du système pondéré {(A;2)(B;1)(C;1)}.
2°)Montrer que P et Q sont les images de M par deux transformations qu'il faut définir.
3°)[tex]M\in\phi[/tex].
     a)déterminer l'ensemble des points P et Q quand M varie sur [tex]\phi[/tex].
     b)O' est le symétrique de O par rapport à A.Quelle est la nature du quadrilatère OMQO'?
     c)montrer que  [tex]O'\in[PQ][/tex] et que PQ est constant.

Solution.
1°)I milieu de [OA] est isobarycentre de {(O;1)(A;1)} ou bien {(O;2)(A;2)} mais O milieu de [BC] est isobarycentre de {(B;1)(C;1)}.La propriété de l'associativité du barycentre permet d'écrire I barycentre de {(A;2)(B;1)(C;1)}.
2°) [tex]\vec{MP}=2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}[/tex] [tex]\Longleftrightarrow[/tex] [tex]\vec{MI}+\vec{IP}=2\vec{MI}+2\vec{IA}+\vec{MI}+\vec{IB}+\vec{MI}+\vec{IC}[/tex] .Après les simplifications on obtient
[tex]\vec{IP}=-3\vec{IM}[/tex].P est l'image de M par l'homothétie de centre I et de rapport (-3).
On fait de meme avec l'autre relation et on obtient [tex]\vec{MQ}=2\vec{OA}[/tex] .Q est l'image de M par la translation de [tex]2\vec{OA}[/tex].
3°)a)l'image d'un cercle par l'homothétie h(I;-3) est un cercle de centre I' =h(I) et de rayon 3R(R étant le rayon du cercle inscrit dans ABC).L'image de'un cercle par la translation T de vecteur 2OA est un cercle de meme rayon.
b)T(O)=O' car [tex]\vec{OO'}=2\vec{OA}[/tex] et T(M)=Q donc [tex]\vec{MQ}=2\vec{OA}[/tex] donc [tex]\vec{OO'}=\vec{MQ}[/tex].OMQO' est un parallélogramme.
c)On peut montrer facilement que h(O)=O'.Le point O a meme image par T et h.
h(M)=P et h(O)=O' donc [tex]\vec{O'P}=-3\vec{OM}[/tex] ....(1)
T(M)=Q et T(O)=O' donc [tex]\vec{O'Q}=\vec{OM}[/tex]........(2)
On fait (1)-(2) on obtient [tex]\vec{PQ}=4\vec{OM}[/tex] et comme [tex]\vec{OM}=\vec{O'Q}[/tex] on a:
[tex]\vec{PQ}=4\vec{O'Q}[/tex].O' appartient à (PQ).
Je ne sais pas comment montrer que la distance PQ est constante.
Merci beaucoup de m'aider.

Bonjour à tous.
OABC est un tétraèdre trirectangle en O (les angles AOB,AOC,BOC sont droits) tel que OA=OB=OC=a.I est le projeté orthogonal de  C sur (AB) et H le projeté orthogonal de O sur (CI).D est un point tel que [tex]\vec{OH}=\vec{DO}[/tex].L'espace est muni du repère orthonormal [tex](O;\frac{1}{2}\vec{OA};\frac{1}{2}\vec{OB};\frac{1}{2}\vec{OC})[/tex].
1°)calculer les coordonnées de H.
2°)quelle est la nature de ABCD.
3°)S est le centre de la sphère intérieure au tétraèdre ABCD.
a)montrer que S est sur (OH).
b)calculer les coordonnées de S.

Voilà ce que j'ai réussi à faire:
1°)On montre d'abord que (OH) est orthogonale au plan (ABC).
(AB) est perpendiculaire à (CI)(par hypothèse) et (OC) car (OC)est ortogonale au plan (ABC) donc à toute droite de ce plan.Il s'ensuit qu'(AB) orthogonale aux deux droites (CI) et (OC) l'est au plan (OCI) donc à (OH) contenue dans ce plan.Comme (OH) est perpendiculaire à (CI) contenue dans (ABC) on peut affirmer que (OH) est orthogonale au plan (ABC) donc à (BC).Comme (BC) (memes raisons)est orthogonale à (OC) on en deduit que (BC) est orthogonale à (OCH) donc (BC) est orthogonale à (AH).
On a donc dans le triangle ABC,H orthocentre et comme ABC(facile à montrer) est équilatéral ,H est le centre de gravité du triangle ABC et donc ses coordonnées sont ([tex]\frac{a}{3},\frac{a}{3},\frac{a}{3}[/tex]).

2°)les coordonnées de D sont faciles à déterminer (-a/3;-a/3;-a/3);j'ai calculé les longueurs AD²=AB²=AC²=BC²=
2a² donc ABCD est un tétraèdre régulier.

3°)(DH) est un axe de symétrie de ABCD car D,H et O sont équidistants des sommets A,B,C,D.S ne peut qu'appartenir à cet axe.
b)je n'y suis pas arrivé.
J'ai déterminé les équations des 4 plans :
(ABC):x+y+z-a=0.
(ADC):x-5y+z-a=0.
(DBC):-5x+y+z-a=0.
(ADB):x+y-5z-a=0.J'ai calculé les distances de S aux plans mais j'ai débouché sur des solutions contradictoires.
Merci mille fois de m'apporter votre aide.

Bonjour à tous.
f est une fonction définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] :f(x)=[tex]f(x)=ln(e^{2x}-e^{x}+1)[/tex].
1°)étudier f (limites,variations,graphe).
Je résume ce que j'ai trouvé:
De  [tex]]-\infty;-ln2[[/tex] f est décroissante de 0 à [tex]ln\frac{3}{4}[/tex].
En x=-ln2   f admet un minimum [tex]ln\frac{3}{4}[/tex].
De  [tex]]-ln2;+\infty[[/tex] f est croissante de  [tex]ln\frac{3}{4}[/tex]  à  [tex]+\infty[/tex].J'ai trouvé qu'en [tex]+\infty[/tex] la courbe de f admet une asymptote oblique.
2°)k est un réel strictement posiif.Déterminer  par le calcul puis en utilisant les variations de f l'existence des racines de l'équation  [tex]e^{2x}-e^{x}+1-k=0[/tex]......(E).
J'ai fait un changement de variable :
[tex]\begin{cases}e^{x}=X\\X^2 -X+1-k=0\end{cases}[/tex] le discriminant D=4k-3.
Si  0<k<3/4  l'équation n'a pas de racines.
Si k=3/4 on a une racine double.
Si k>3/4 on a 2 racines.
En utilisant les variations de f:
(E) est équivalent à  [tex]ln(e^{2x}-e^{x}+1)=lnk[/tex] ..etc.Mon problème vient du fait que je ne trouve pas la meme chose que par le calcul.J'ai meme utilisé l'équivalence ci-dessus sans etre sur qu'une équation en exp est équivalente à une équation en ln (est-ce à cause de la bijection de la fonction ln?).
Merci pour votre aide.