Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
on considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= x \ln|x|-x$ si $x\neq 0$ et $0$ si $x=0$.
Je lis qu'i existe un polynôme $P(x)= 1+x^2$ tel que $|f(x)| \leq P(x), \ \forall x \in \mathbb{R}$.
Ma question est comment on obtient ce polynôme $P$ qui majore $f$?

Merci d'avance

Bonjour,
on considère le problème de Cauchy suivant
$$y''+g(x,y)=0, y(0)=y_0, y'(0)=z_0$$
La question est de montrer que ce problème admet une solution unique.

Pour celà, on peut écrire ce problème sous forme d'un système de deux équations diff d'ordre 1 en faisant un changement de variable, et on obtient le système
$$\begin{cases} y_1'=y_2,\\y_2'=-g(x,y_1)\end{cases}$$
où $g$ et $\dfrac{\partial g}{\partial y}$ sont continues sur $$\mathcal{R}=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: |x-x_0| \leq a, |y-y_0| \leq b\}$$
Qu'on peut écrire sous la forme e $$Y'=H(x,Y)$$ avec $H(x,Y)=(y_2,-g(x,y_1))$
Ensuite, je souhaite utiliser le théorème suivant
Théorème: On considère le problème de Cauchy $Y'=H(x,Y), Y(x_0)=Y_0$ où $H(x,Y)$ est définie sur $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ et $Y \in \mathbb{R}^n$, sur $$B=\{(x,Y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n, x_0 \leq x \leq x_0+a, ||Y-Y_0|| \leq b\}$$
Si $H$ est continue et bornée sur $B$ et si $H$ est Lipschitsz par rapport à $Y$ sur $B$, alors le système admet une solution unique sur l'intervalle $[x_0,x_0+\alpha]$ où $\alpha=\min(a,b/M)$ avec $M=\max_{(x,Y) \in B} ||H(x,Y)||$

Ma question est: comment argumenter le fait que $H(x,Y)$ soit continue et bornée sur $B$?

Aussi, quel sens a l'écriture $\max_{(x,Y) \in B} ||H(x,Y)||$?

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,
qu'est ce qu'on appelle "méthode de compacité"? Cette méthode est utiliser pour montrer l'existence de, au moins une solution pour une équation
Est-ce qu'on lui donne le nom de "compacité" parce qu'on travaille sur un compact?

Cordialement

Bonjour,
j'essaye de démontrer le théorème de la partition d'unité qui dit ceci: soit $K$ un compact de $\mathbb{R}^n$ et soit $(\Omega_j)_{j=1,\ldots,n}$ des ouverts de $\mathbb{R}^n$ tel que $K \subset \cup_{j=1}^n \Omega_j= \Omega$. Alors, il existe $\varphi_j \in \mathcal{D}(\Omega_j)$ avec $j=1,\ldots,n$ tels que: $0 \leq \varphi_j \leq 1$ et $\sum_{j=1}^n \varphi_j=1$ au voisinage de $K$.
J'ai trouvé la démonstration suivante: il existe des compacts $(K_j)_{j=1,\ldots,n}$ tels que $K_j \subset \Omega_j$ pour tout $j=1,\ldots,n$ et $K \subset \cup_{j=1}^n K_j$. Par le lemme d'Urysohn, il existe $\psi_j \in \mathcal{D}(\Omega_j)$ tel que $0 \leq \psi_j \leq 1$ et $\psi_j=1$ sur un voisinage ouvert $K'_j$ de $K_j$.
D'un autre côté, $V=\cup_{j=1}^n K'_j$ est un voisinage ouvert de $K$ et on remarque que $\sum_{j=1}^n \psi_j > 0$ sur $V$. Il exuste $\theta \in \mathcal{D}(V)$ tel que $\theta=1$ sur un voisinage $W$ de $K$. On pose
$$
\psi_0(x)=
1-\theta(x)
=
\begin{cases}
1 &:x \in C V,\\
0 &: x \in W
\end{cases}
$$
et on remarque que $\psi_0$ n'est pas une fonction test.

On pose
$$
\varphi_j=\dfrac{\psi_j}{\sum_{i=0}^n \psi_j} \in \mathcal{D}(\Omega_j), \ j=1,\ldots, n.
$$
On remarque que $\sum_{i=0}^n \psi_i >0$ car pour tout $x \in V$ on a:
$$
\sum_{j=0}^n \psi_j = \sum_{j=1}^n \psi_j + \psi_0 > 0,
$$
Par contre si $x \in C V$ alors $\psi_0=1$ et donc
$$
\sum_{j=1}^n \varphi_j = \dfrac{\sum_{j=1}^n \psi_j}{\sum_{i=0}^n \psi_i}
$$
est bien définie.
On remarque que pour $x \in W$, on a que $\psi_0=0$ implique $\sum_{j=1}^n \varphi_j=1$ en sachant que $W$ est un voisinage de $K$.

Dans cette démonstration, je ne comprends pas les choses suivantes:
1- pourquoi ne pas prendre directement $\varphi_j=\dfrac {\psi_j}{\sum_{j=1}^n \psi_j}$?
2- Si $\psi_0$ n'est pas une fonction test alors comment peut ont dire de $\dfrac {\psi_j}{\sum_{i=0}^n \psi_j}$ que c'est une fonction test?
3- Pourquoi avoir besoin d'introduire les fonctions $\theta$ et $\psi_0$ dans cette preuve?

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Bonjour,
On considère le modèle suivant: pour tout $t \in [0,T]$:

\begin{equation}\label{2}
I'=a u_0 V-\beta I,
\end{equation}   
\begin{equation}\label{3}
V'= b I_{\tau} - \sigma V,
\end{equation}   
où
$$
I_{\tau}(t)= 0 \ \mbox{si} \ t \leq \tau, \ =I(t-\tau)\ \mbox{si} \ t > \tau.
$$   
    avec les conditions initiales
$$
I(0)=0, \ V(0)=v_0.
$$   

   
Ce système s'écrit sous la forme matricielle
\begin{equation}
    X'(t)= A(t) X(t) + b(t),
\end{equation}
où
$$
X(t)
=
\begin{pmatrix}
    I(t)\\V(t)
\end{pmatrix},
A(t)
=
\begin{pmatrix}
    &-\beta  &au_0\\
    &0 &-\sigma
\end{pmatrix},
b(t)
=
\begin{pmatrix}
    0\\
    I(t-\tau)
\end{pmatrix}.
$$

Par la formule de Duhamel, la solution s'écrit
\begin{equation}
    X(t)= e^{tA} X(0) + \displaystyle\int_0^t e^{(t-u)A} b(u) \ du.
\end{equation}

Sur $[0,\tau)$: on a $I(t-\tau)=0$, donc $b(t)=0$ et la solution s'écrit
\begin{equation}
    X(t)= e^{tA} X(0).
\end{equation}
On a
$$
X(\tau)= e^{\tau} X(0).
$$

\medskip

Sur $[\tau,2\tau)$: on a
\begin{equation}
    X(t)= e^{(t-\tau) A} X(\tau) + \displaystyle\int_{\tau}^t e^{(t-u)A} b(u) \ du,
\end{equation}

Je lis que $$I(u-\tau)= (e^{(u-\tau)A} X(0))_1$$ Que veut dire cette écriture? Svp.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour ,
s'il vous plaît j'ai une question qui me turlupine à propos d'un développement de Taylor:
on prend $v(t,x)$ un vecteur, $x, y \in \mathbb{R}^n$ et $t^{[n]}_k = k \delta_n$ où $\delta_n= \dfrac{1}{2^n}$, $k > 0$, $n=1,2,..$

1. On a

$$u(t^{[n]}_k,x-\delta_n v(t^{[n]}_k,x)+y)-u(t^{[n]}_k,x-\delta_n v(t,x))
= \nabla_x u(t^{[n]}_k,x-\delta_n v(t,x)) \cdot y + R$$

mon souci est avec le reste $R$. Comment on peut définir le reste $R$ (le plus simple, en fonction des dérivées partielles de $f$)?

2. Comment écrire le développement de Taylor de $\dfrac{\partial u}{\partial x_i}$?
S'il vous plaît.

Je vous remercie d'avance pour votre aide.