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Bonjour. Mon livre parle de l'équation différentielle $(E)$  $ay''+by'+cy=g(x)$ avec $a,b,c\in \mathbb{R},a\neq 0$.
Il traite du cas où $g(x)$ est de la forme $g(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x)+P_2(x)\sin(\beta x))$, où $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ et $P_1,P_2\in\mathbb{R}[X]$.
Mon livre dit qu'une solution particulière de $(E)$ est de la forme $y_0(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x)+Q_2(x)\sin(\beta x))$ si $\alpha+i\beta$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique $ar^2+br+c=0$ associée à l'équation $(E_0)$   $ay''+by'+cy=0$ avec $y(x)=\mathrm{e}^{rx}$.
$Q_1$ et $Q_2$ sont deux polynômes de degré $n=\text{max}\{\text{deg}P_1,\text{deg}P_2\}$.

D'après ce qui est dit ci-dessus, si on remplace $y$ par $y_0$ dans l'équation $(E)$, on est censé obtenir un $Q_1(x)$ et un $Q_2(x)$ qui sont multipliés par des facteurs non-nuls, et de plus il ne faut pas que la somme des termes contenant $Q_1(x)$ avec les termes contenant $Q_2(x)$ produise un polynôme de degré inférieur à $n$.

J'ai essayé de démontrer qu'on obtient des $Q_1(x)$ et des $Q_2(x)$ qui sont multipliés par des facteurs non nuls (car mon livre balance le résultat de $y_0$ sans prendre la peine de le démontrer, il faut donc que je le démontre).
Je n'ai pas réussi à le démontrer, mais j'ai commencé à faire des calculs. J'ai d'abord remplacé $y$ par $\mathrm{e}^{\alpha x}Q_1(x)\cos(\beta x)$ puis j'ai fait des seconds calculs en remplaçant $y$ par $\mathrm{e}^{\alpha x}Q_2(x)\sin(\beta x)$

En remplaçant $y$ par $\mathrm{e}^{\alpha x}Q_1(x)\cos(\beta x)$, le membre $ay''+by'+cy$ devient
$c\mathrm{e}^{\alpha x}Q_1(x)\cos(\beta x)+b(\alpha\mathrm{e}^{\alpha x}Q_1(x)\cos(\beta x)+\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_1'(x)\cos(\beta x)-\beta Q_1(x)\sin(\beta x)))+a(\alpha^2\mathrm{e}^{\alpha x}Q_1(x)\cos(\beta x)+\alpha\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_1'(x)\cos(\beta x)+Q_1(x)(-\beta)\sin(\beta x))+\alpha\mathrm{e}^{\alpha x}Q_1'(x)\cos(\beta x)+\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_1''(x)\cos(\beta x)+Q_1'(x)(-\beta)\sin(\beta x))-\alpha\mathrm{e}^{\alpha x}\beta Q_1(x)\sin(\beta x)-\mathrm{e}^{\alpha x}(\beta Q_1'(x)\sin(\beta x)+\beta^2\cos(\beta x)Q_1(x)))$

Je divise les membres de l'équation par $\mathrm{e}^{\alpha x}$, et le terme contenant $Q_1(x)$ dans le membre de gauche est
$Q_1(x)(c\cos(\beta x)+b(\alpha\cos(\beta x)-\beta\sin(\beta x))+a(\alpha^2\cos(\beta x)-2\alpha\beta\sin(\beta x)-\beta^2\cos(\beta x)))$
$Q_1(x)(c\cos(\beta x)+b(-\beta\sin(\beta x))+a(-\beta^2\cos(\beta x))+b\alpha\cos(\beta x)+a(-2\alpha\beta\sin(\beta x)+\alpha^2\cos(\beta x)))$
On sait que $c\cos(\beta x)+b(-\beta\sin(\beta x))+a(-\beta^2\cos(\beta x))$ est différent de $0$ car $\alpha+i\beta$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique associée à $(E_0)$ et donc $\cos(\beta x)$ n'est pas solution de $(E_0)$.
Mais je n'arrive pas à démontrer que le facteur de $Q_1(x)$ est différent de $0$.

Pour le second calcul, en remplaçant $y$ par $Q_2(x)\sin(\beta x)$ on obtient
$c\mathrm{e}^{\alpha x}Q_2(x)\sin(\beta x)+b(\alpha\mathrm{e}^{\alpha x}Q_2(x)\sin(\beta x)+\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_2'(x)\sin(\beta x)+\beta Q_2(x)\cos(\beta x)))+a(\alpha^2\mathrm{e}^{\alpha x}Q_2(x)\sin(\beta x)+\alpha\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_2'(x)\sin(\beta x)+\beta Q_2(x)\cos(\beta x))+\alpha\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_2'(x)\sin(\beta x)+\beta Q_2(x)\cos(\beta x))+\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_2''(x)\sin(\beta x)+\beta Q_2'(x)\cos(\beta x)\beta Q_2'(x)\cos(\beta x)-\beta^2Q_2(x)\sin(\beta x)))$
Je divise les membres de l'équation par $\mathrm{e}^{\alpha x}$, et le terme contenant $Q_2(x)$ dans le membre de gauche est
$Q_2(x)(c\sin(\beta x)+b(\alpha\sin(\beta x)+\beta\cos(\beta x))+a(\alpha^2\sin(\beta x)+2\alpha\beta\cos(\beta x)-\beta^2\sin(\beta x)))$
$Q_2(x)(c\sin(\beta x)+b\beta\cos(\beta x)-a\beta^2\sin(\beta x)+b\alpha\sin(\beta x)+a(\alpha^2\sin(\beta x)+2\alpha\beta\cos(\beta x)))$
On sait comme précédemment que $c\sin(\beta x)+b\beta\cos(\beta x)-a\beta^2\sin(\beta x)$ est différent de $0$. Mais on ignore si tout le facteur est différent de $0$.

Commment fait-on pour démontrer que les facteurs de $Q_1(x)$ et $Q_2(x)$ sont différents de $0$ et comment démontre-t-on que la somme des termes contenant les $Q_1(x)$ et les $Q_2(x)$ ne donne pas un polynôme de degré inférieur à n ?