Forum de mathématiques - Bibm@th.net

, Bonjour,

Le symbole utilisé par momoyoyo signifie "partie entière" : La formule est alors bien vérifiée analytiquement.
On arrive sans difficulté majeure à le démonter en exprimant les parties entières sous forme de séries de Fourrier.
Ma démo tient en moins d'une page. Mais je n'ai pas le temps (ni l'envie pour parler franc) de dactylographier cela en LATEX.
Bien volontier, je fournirai une copie (formt .jpg) à ceux qui me contacteront par messagerie personnelle.
Si le gestionnaire du forum le souhaite, je tiens à sa disposition cette page pour qu'il l'attache à mon post, ce que je ne peux pas faire moi-même.

(0<x<1 ; 0<y<x² ) est la même chose que ( 0<y<1 ;  y^1/2<x<1 )
Faire une représentation graphique si nécessaire pour comprendre.

Bonjour Lacaze,

il faut d'abord résoudre l'équation homogène Ay''-Bxy = 0
C'est une équation du genre Bessel, mais qui est connue en tant qu'équation d'Airy. Les solutions s'expriment par les combinaisons linéaires des deux fonctions d'Airy. (inutile de chercher à les exprimer avec un nombre fini de fonctions usuelles : c'est impossible. On fait donc appel à des fonctions spéciales. On pourrait aussi les écrire sous forme de séries infinies). Informe-toi sur les fonctions d'Airy.
Ensuite, pour les solutions de l'équation complète, il suffit d'ajouter une solution particulière, par exemple y=C/B

Bonjour,

La solution attendue a été donnée.
En complément et seulement pour information (sans utilité pratique pour marmat), la solution analytique fait appel à une fonction spéciale : la fonction de Lambert W(X).
Le (ou les) solution(s) de l'équation x.ln(x)+b.x+c=0 :
x = exp(-b+W(X)) avec X = -c.exp(b)
La fonction W(X) étant multiforme, selon les valeurs de b et c, il peut y avoir 0 ou 1 ou 2 solutions réelles.
Avec les données numériques de marmat, on est dans le cas d'une seule solution : x = 373,58051598177..

La réponse de yoshi est la plus raisonnable : en pratique, ce genre d'équation se résout par calcul numérique. Il existe de nombreuses méthodes donnant un résultat approché aussi précis que l'on veut.
Néanmois, à titre d'information pour ceux qui s'intéressent au calcul analytique et fonctions spéciales, la solution formelle de cette équation est :
x =-(d/a) + W(X) / ln(b)
avec X= (b^(d/a))*ln(b)/a
et W(X) est la fonction W de Lambert.

et si tu  faisais le changement :
t = (sin(x)+1)/2
tu serais surpris !

il n'y a ni sous-entendu, ni ironie, dans mes propos. Lorsque j'ai dis que j'aurais volontier cité ta phrase "comment résoudre un intégrale de Fresnel ? par une intégrale de Fresnel ...", c'est vraiment parce que cet aphorisme me plait bien et que c'est un raccourci propre à frapper les esprits et à inciter à la réflexion
.

Mais oui, mais oui, on est bien d'accord. Il n'y a pas de cynisme lorsqu'on écrit "comment résoudre un intégrale de Fresnel ? par une intégrale de Fresnel ..." C'est une parfaite ilustration de ma remarque : "L'utilisation des fonctions spéciales peut surprendre et sembler n'être qu'un tour de passe-passe. "
Ensuite, chacun oeuvre à sa manière pour faire comprendre ce que sont et à quoi servent les fonctions spéciales.
Bien cordialement
JJ.

Bonjour,

les primitives (et non pas la primitive) de cos (x) / x^ (1/2) ne s'expriment pas avec une combinaison d'un nombre fini de fonctions usuelles. Elles s'expriment, soit avec des séries infinies, soit formellement avec une fonction spéciale, la fonction Fres(X) :
((2pi)^(1/2))*Fres(X) + constante, avec X= (2x/pi)^(1/2)
Néanmoins, pour certaines valeurs particulières de X, l'expression de la fonction Fres(x) peut se réduire à un terme usuel.

@ yoshi
Bien évidemment, ma remarque s'adressait à Michael, pour attirer son attention sur le fait qu'il ne suffisait pas de recopier le peu que j'avais écrit, mais qu'il devait apporter les justifications nécessaires (et particulièrement en ce qui concerne la limite x tendant vers 1).
Bien cordialement,
JJ.

On peut aussi arriver au résultat sans passer par une fonction spéciale.
Mais il est bien évident que l'on doit alors passer par un développement en série infinie, puisque l'intégrale indéfinie ne s'exprime pas avec un nombre fini de fonctions élémentaires.
Par exemple, on peut utiliser :
1/(1-x²) = sigma x^(2n) avec n=0 à infini
L'intégrale de x^(2n+2).ln(x) prise entre 0 et 1 se calcule aisément.
On arrive ainsi à sigma 1/(2n+3)² avec n=0 à infini  qui vaut (pi²/8)-1

ce n'est pas la démo qui est "sans fonction spéciale". Au contraire, il a bien été dit qu'elle utilise la fonction dilog.
C'est le résultat qui est "sans fonction spéciale", c'est à dire dans lequel aucune fonction spéciale n'apparait.