Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Je ne connais pas cette abréviation qu'est-ce ?
Pour ma part j'ai tenté un développement en série entière de $g(\lambda) = \frac{x^b}{(\lambda + x)^{1+a}}$, j'obtiens :
$g(\lambda) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} (\prod\limits_{i=1}^{n} (a+i)) \frac{x^{b-a-1-n}}{n!}\lambda^n$.
On peut se ramener par un changement de variable à l'étude de l'intégrale pour $\lambda = 1$.

On a une convergence uniforme $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} (\prod\limits_{i=1}^{n} (a+i)) \frac{x^{b-a-1-n}}{n!}$, sur $[c;+\infty[$ pour tout $c>1$. On peut donc échanger intégrale et somme etc.
Cependant, je n'ai pas réussi à calculer l'intégrale en partant de 0 jusque là.

@Sandman, ton intégrale vient-elle d'un contexte particulier ou souhaites tu juste calculer une intégrale sortie de presque nulle part ? Parce que si l'intégrale provient de calcul précédent, on pourrait éventuellement s'en servir pour la calculer.

Bonjour,
Tu peux faire ça en utilisant le fait que pour toute suite de boréliens (et en fait partie de $\mathbb{R}$) $(A_n)_n$, on a :
$\cup_n (A_n + q) = (\cup_n A_n) + q$, et, $\cap_n (A_n+q) = (\cap_n A_n) + q$.

Et concernant la deuxième question, tu peux utiliser le lemme de Dynkin (enfin c'est plutôt l'une de ses conséquences), en posant $\lambda_0(A) = \lambda(A+q)$. (rappel : les intervalles sont des $\pi$-systèmes).

Bonjour,
as tu tenté de résoudre explicitement cette équation différentielle et d'écrire les conditions aux limites ?

Bonsoir,
$\lambda$ peut prendre quelles valeurs ? (strictement positive ou seulement positive)

Bonjour,
Non on ne peut pas malheureusement, prends $f : x \mapsto 1$ et $g : n \in \mathbb{N} \mapsto n!$.
Et ça n'aura même pas forcément la même limite, si tu prends $f = g$ avec $g : n \in \mathbb{N} \mapsto n!$...
L'idée ici c'est que la suite grandit beaucoup trop pour faire ce genre de choses...

Et donc ça modifie ton raisonnement pour la suite non ?

Bonjour,
C'est vrai ça si $\alpha > 0$... Mais admettons que l'on ait supposé ceci, que peut tu dire de plus ? Pousse tes raisonnements plus loin ! A chaque fois tout ce que j'ai fait (et Zebulor) c'est de te corriger sur des détails techniques (à moins que ce soit récurrents ce genre de problèmes) tu peux aller jusqu'au bout du problème seul(e) avec cette seule indication : "utilise le CSSA" ;)

Ah non pardon, je sais pas pourquoi j'ai pensé ça...

Bonjour,
@DavidBe je ne sais pas si c'est une manipulation maladroite mais je préfère te le dire, le raisonnement par équivalent pour les séries n'est valable que pour les séries à termes positifs.
De plus si $\beta > \alpha$, $\frac{1}{k^\alpha + 2k^\beta} \sim \frac{1}{2 k^\beta}$... C'est le $0.5$ qui manquait !

@Zebulor, je ne sais pas ! Mais ça permet au moins de diminuer le nombre de cas à traiter au moins...

Et en voilà un contre exemple :
La série associée à la suite $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$ si $n=0 [4]$ ou $n=1[4]$, et $u_n = \frac{(-1)^n}{ln(n)}$ si $n=2 [4]$ ou $n=3[4]$.

Quoi que, à voir, il me manque tous les détails de la démonstrations, je reviens à toi un peu plus tard

Salut Zebulor !

, condition nécessaire ? C'est le même critère dont l'on parle ?

Bonjour,
Pour continuer selon ton point de vue, tu peux utiliser un équivalent et effectivement utiliser la suite que tu as proposé qui est presque (à un facteur près selon le cas) un équivalent de $\frac{(-1)^{k}}{k^\alpha+2k^\beta}$.

Après, pour faire encore plus générale, tu connais le critère spéciale des séries alternées ?