Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Avant (au sens large) $nx$ il y a

des entiers $ k$ (ils sont tels que $k\leq nx$)
des réels $k'x$ (ils sont tels que $ k'x\leq nx$)

donc ...

Bonjour,

Amicalement

Bonsoir,

Les suites $u'_n=E(n\ln10/\ln2)$ et $v'_n=E(n\ln10/\ln5 )$ forment une partition de $N^*$
Les suites $u_n=u'_n+1 $ et $v_n=v'_n+1$ ne forment pas une partition de $N^*$,
elles forment une partition de $N-\{0;1\}$

Bonsoir,

Je vous livre ma méthode pour démontrer le théorème de Beatty :

1) Soit $x$ un irrationnel positif, on pose $M=\{kx|k\in N^*\}$
Déterminez $M\cap N^*$ ?
2) On classe par ordre croissant les éléments de $M\cup N^*$
Quel est le rang de l'entier $n$?  On note $a_n$ ce rang.
On doit trouver $a_n=E(ny)$ pour un certain réel $y$.
3) Quel est le rang du réel $nx$?  On note $b_n$ ce rang.
4) On pose $A=\{a_n|n \in N^*\}$ et $B=\{b_n|n \in N^*\}$
Déterminez $A\cup B$ et  $A\cap B$
5)  Conclure

Bonjour,
Une application (utile ?) du théorème de Beatty :
$u_n$ est le nombre de chiffres de $10^n$ quand on l'écrit en base $2$ (avec $n\geq 1$).
$v_n$ est le nombre de chiffres de $10^n$ quand on l'écrit en base $5$ (avec $n\geq 1$).
Par exemple $u_5=17$ car $100000=11000011010100000_2$
Montrez que ces deux suites forment une partition de $N-\{0;1\}$
Amicalement

Bonjour Glozi,

C'est exactement ça. Je peux cependant écrire une démonstration qui n'utilise pas L-M.
Amicalement
Édouard Cidrolin

On a aussi : https://ja.wikipedia.org/wiki/矩形数

Merci Manu pour ces bonnes nouvelles.

Bonjour,
Merci pour les quelques nouvelles.