Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re,

Oui c'est exactement ce que je me suis dit dans ma tête !

D'accord j'ai beaucoup mieux compris comment on traitait la convergence des intégrales même si encore je n'arrive pas à prendre en compte tout et tout voir mais avec encore plus d'exercices j'espère y arriver. Ces intégrales n'étaient pas faciles pas rapport à d'autres que j'avais faites. C'est vrai que l'analyse faut penser à tout et c'est vrai qu'il faut aussi que je me pose les bonnes questions déjà savoir si je cherche le problème en 0 , +infini etc et après faire des équivalences en tenant compte de cela etc, utiliser les bonnes intégrales de références de Riemann...

Mais je voulais vous remercier pour votre implication, vos conseils, votre patience (beaucoup) et votre bienveillance. Et je sais pertinemment que j'ai progressé et que j'ai des bases plus fortes, merci !

Je voulais, juste si vous avez le temps et encore la patience finir par une convergence de série pour que je me rende compte de la différence entre étudier la convergence d'une intégrales et celle d'une série.
Si vous en avez envie je la pose : [tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^\alpha + 2k^\beta}
[/tex]

J'ai essayé dans dans mon livre d'en prendre une qui me semble pas très facile pour justement faire une "correspondance" avec les intégrales que nous avons traité.

Je commence:

Alors déjà contrairement aux intégrales, ici je cherche en l'infini.
Ce que je fais souvent pour discuter de la convergence d'une série, je commence par me demander si elle est absolument convergente et si elle est c'est gagné ! Ici je me doute aussi que la convergence et la convergence absolue va dépendre de [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex]

Convergence absolue:

[tex]|\frac{(-1)^k}{k^\alpha + 2k^\beta}| = \frac{|-1)^k|}{|k^\alpha + 2k^\beta|} = \frac{1}{|k^\alpha + 2k^\beta|}= \frac{1}{k^\alpha + 2k^\beta}[/tex]

Bonjour !

Oui exacte en fait je me suis trompée dans l'intégrale.
[tex]\int_{1}^{\infty}\frac{1}{t^{3-\alpha}}[/tex] donc cela converge en l'infini ssi [tex]3-\alpha>1[/tex] donc [tex]\alpha<2[/tex]
Donc [tex]\int_{0}^{\infty}\frac{t^\alpha}{t^3 +1}[/tex] converge en l'infini ssi [tex]\alpha <2[/tex]

En 0 :

[tex]\frac{t^\alpha}{t^3 +1} \sim \frac{1}{t^{3-\alpha}}[/tex]
Or d'après les intégrales de références de Riemann, [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{3-\alpha}}[/tex] converge ssi [tex]3-\alpha<1[/tex] donc ssi [tex]\alpha > 2[/tex]
Donc [tex]\int_{0}^{\infty}\frac{t^\alpha}{t^3 +1}[/tex] converge en 0 ssi [tex]\alpha >2[/tex]

Re,

Oui oui excusez-moi j'ai mal rédigé, c'est encore un exercice très dur pour moi de penser à tous et rien oublier en étant le plus juste mais je vous remercie de me faire progresser vers cette voie.

D'accord donc je vais préciser et montrer que ma fonction est bien positive.

Oui ! Je me rends compte maintenant de la subtilité ! Il faut se dire que $\alpha$ peut prendre n'importe quelle valeur réelle.

Pour [tex]\alpha =1[/tex] en l'infinie on a vu que l'équivalent de [tex]\frac{t}{t^3 +1}[/tex] est [tex]\frac{1}{t^2}[/tex]
Or d'après les intégrales références de Riemaan [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^2}dt[/tex] converge ssi [tex]\alpha>1[/tex]
Donc d'après le théorème d'équivalence [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{t}{t^3 +1}dt[/tex] converge ssi [tex]\alpha>1[/tex]

Pour [tex]\alpha =-1[/tex] en 0 on a vu que l'équivalent de [tex]\frac{t}{t^3 +1}[/tex] est [tex]\frac{1}{t}[/tex]
Or d'après les intégrales références de Riemaan [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{t}dt[/tex] diverge ([tex]\frac{1}{t}[/tex] est un cas limite)
Donc d'après le théorème d'équivalence [tex]\int_{0}^{1}\frac{t}{t^3 +1}[/tex] diverge.

Bonsoir !

Pour la 4) que je rappelle [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3 +1} dt[/tex]
Je ne vois qu'un problème en [tex]\infty[/tex]

Je dis donc que : [tex]\frac{t^\alpha}{t^3 +1} < \frac{t^\alpha}{t^3 } = \frac{1}{t^{3-\alpha}}[/tex] (la fonction est positive)
Or [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{1}{t^{3-\alpha}}dt[/tex] est convergente ssi [tex]3-\alpha>1[/tex] donc [tex]\alpha >2[/tex] (intégrale de Riemann)
Donc par le théoème de comparaison [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3 +1} dt[/tex]  est convergente ssi [tex]\alpha >2[/tex]

Edit :  [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{1}{t^{3-\alpha}}dt[/tex] On aurait ici peut-être pu chercher une primitive. Je regarde cette piste demain.

Oui exacte ! Avec une minoration on ne peut pas conclure si on compare avec une fonction divergente !

J'ai modifié le post #27 , bien évidemment qu'il n'y a pas les dt j'ai oublié de les enlever

Bonjour,

D'accord je comprends mieux.
Oui oui c'est vrai que si une intégrale converge vers 0 c'est nécessaire mais pas suffisant.
Quand vous dites "Parce que cette majoration est insuffisante." pour [tex]1/x[/tex] c'est parce qu'elle converge pas assez rapidement vers 0 par rapport à [tex]1/x^2[/tex] ?

De plus je ne comprends pas bien cette notation [tex]o(\frac {1}{x^2}[/tex]. En effet, pour moi quand on utilise o c'est pour les DL je n'ai pas encore vu ailleurs, mais ici on oublie les DL

Peut-on dire [tex]\frac {(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt x} \sim \frac {1}{x^2}[/tex]

PS: J'ai aussi fait un edit sur le post #27

Je ne comprends pas ceci. Est-ce par DL ?
Je cherche encore

Oui exacte !

En +infini,

Lorsque x tend vers +infini, [tex]\frac {(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt x} \sim exp(-x)[/tex]
Or [tex]\int_{1}^{\infty }exp(-x)= [-exp(-x)] = exp(1)[/tex] donc converge en +infini
Donc d'après le théorème d'équivalence [tex]\int_{1}^{\infty }\frac {(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt x}[/tex] converge en +infini

En fait maintenant si je compare [tex] \int_{0}^{1}\frac{(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt(x)}[/tex]  avec [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt(x)} = [2\sqrt x] = 2 < \infty[/tex]
Je vois bien que [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt(x)}[/tex]  converge en 0
Donc [tex]\int_{0}^{1}\frac{(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt(x)} < \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt(x)}[/tex]
Or cette dernière converge donc d'après le théorème de comparaison [tex] \int_{0}^{1}\frac{(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt(x)}[/tex] converge en 0

D'accord,
Si je m'occupe pour l'instant du problème en 0,
Lorsque x tend vers 0, [tex]\frac{(1+x^2)\exp(-x)}{\sqrt x} \sim \frac{1}{\sqrt x}[/tex]
Donc [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{(1+x^2)\exp(-x)}{\sqrt x} \sim  \int_{0}^{\infty }\frac{1}{\sqrt x}[/tex]
Or [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{1}{\sqrt x}[/tex] d'après les intégrales de Riemann elle diverge
Par conséquent je pense que j'ai mal utilisé le théorème d'équivalence ( à noter ici que toutes les fonctions de l'intégrales sont positives donc on peut appliquer ce théorème).

Pour vous expliquez, je comptais dire que lorsque x tend vers 0 \frac{sin(x^2)}{x^2} \sim \frac{sin(x)}{x}
donc \int_{0}^{1}\frac{sin(t^2)}{t^2}dt \sim \int_{0}^{1}\frac{sin(x)}{x}
Or \frac{sin(x)}{x} admet une limite en 0 donc \int_{0}^{1}\frac{sin(x)}{x} converge pour x= 0
Donc par le théorème d'équivalence \int_{0}^{1}\frac{sin(t^2)}{t^2}dt converge donc \lim_{X->0}\int_{0}^{1}\frac{sin(t^2)}{t^2}dt existe et est finie.

Le seul truc qui me chagrine un petit peu et que j'utilise l'équivaence mais \frac{sin(x^2)}{x^2} n'est pas toujours positives. par conséquent, je ne sais pas si j'ai le droit de faire cette "méthode".

J'ai fait pour l'autre borne et je suis arrivé à la conclusion que [tex]\beta <1[/tex].

Pour conclure je dirais que l'intégrale du 2 converge ssi [tex]\alpha <2[/tex] et [tex]\beta <1[/tex]