Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous,
J'exhume un tantinet en supposant qu'il est intéressant de relancer ce fil. Je propose une solution qui a une faiblesse (peut-être rédhibitoire). Les intervenants plus affutés que moi pourront dire ce qu'ils pensent à propos d'une certaine borne supérieure d'un ensemble :

Zebulor a écrit plus haut qu'il était facile de démontrer que
$\forall (a,b,c)\geq 0, \,\, \dfrac{a}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c}{c^2+a^2+2}\leq \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
par exemple en majorant chaque fraction par $\dfrac{a}{a^2+2}$ et permutation circulaire.

J'affirme et c'est la faiblesse mentionnée plus haut, que la quantité $\dfrac{a}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c}{c^2+a^2+2}$ admet un plus petit majorant. Appelons-le $M$.

Montrons maintenant que $\forall(a,b,c)\geq 0,\quad \dfrac{a+b}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b+c}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c+a}{c^2+a^2+2}\leq \dfrac{3}{2}$ (1)
En éliminant les cas où au moins deux des réels $a,b,c$ sont nuls, on effectue le changement de variable :

  $\begin{cases}a=1+x\\b=1+y\\c=1+z\end{cases}$ avec $\begin{cases}x>-1\\y>-1\\z>-1\end{cases}$. L'inégalité (1) se traduit par :

$\dfrac{1}{2+\dfrac{x^2+y^2}{2+x+y}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{y^2+z^2}{2+y+z}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{z^2+x^2}{2+z+x}}\leq \dfrac{3}{2}$ qui est vraie avec égalité pour $x=y=z=0$ soit $a=b=c=1$.

On peut écrire (1) sous la forme :

    $\underbrace{\dfrac{a}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c}{c^2+a^2+2}}_{\leq M}+\underbrace{\dfrac{a}{a^2+c^2+2}+\dfrac{b}{b^2+a^2+2}+\dfrac{c}{c^2+b^2+2}}_{\leq M}\leq \dfrac{3}{2}$

On en déduit que $2M=\dfrac{3}{2}$ soit $M=\dfrac{3}{4}$ avec égalité atteinte pour $a=b=c=1$

A vos critiques !

Bonjour Fred,
Effectivement la question c) et son "au plus cinq cadeaux" lève le doute s'il y en avait un.

Du coup, c), parlons-en : on peut considérer qu'on distribue 0,1,2,3,4 ou 5 cadeaux avec pour chaque cas le nombre de distributions.

Bonjour,

Comme sont posées ces deux questions, tous les cadeaux doivent être distribués.
Ce que tu n'as pas fait ici :

Par exemple pour a) :

   - Le premier cadeau peut être attribué de 2 manières, le second et le troisième aussi. Ce qui donne $2^3$ distributions.

Bonjour à tous,
Une solution alternative en passant par les complexes :

Posons $x+iy=re^{i\theta}=r(\cos\,\theta+i\sin\,\theta )$

La première inégalité se traduit par $r^2\geq \dfrac{1}{1-\dfrac{\sin\,2\theta}{2}}$

d'où on déduit, compte tenu que $\sin\,2\theta\geq -1$, $x^2+y^2=r^2\geq \dfrac{2}{3}$

Merci Vassillia : tu es trop bonne ;)
J'avais fait mes sept possibles en secouant la figure sous GeoGebra dans tous les sens : en pure perte.

Bonjour,
Je pense aussi qu'on ne reverra pas Lou-Ann. J'espère, en postant ma solution, pouvoir y intégrer une image.

Une équation générale de droite : $y=mx+p$.
Les équations aux abscisses des intersections des deux paraboles avec cette droite :

$\begin{cases}2x^2-(m+5)x-p+3=0\\-2x^2-(m-11)x-p-17=0\end{cases}$

Le système des deux discriminants nuls après développement :

$\begin{cases}m^2+10m+8p+1=0\\m^2-22m-8p-15=0\end{cases}$

Système que l'on résout par exemple en sommant les deux équations pour obtenir :

  $m^2-6m-7=0$

On obtient les deux couples $(m,p)$ : $(-1,1)$ et $(7,-15)$

Une image (un test pour moi) :

Ah ! Vraiment désolé yoshi !
Merci : on en apprend tous les jours.

Très bonne nouvelle !

C'est la moindre des choses :

Bonjour comaths,
Des liens pourquoi pas mais le second, hum, comment dire ?

Bonjour,
Je voulais me limiter à une figure mais je ne sais pas comment la poster.
Le cercle de diamètre $[AC]$ a son mot à dire.