Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re,

bon,je n'ai pas bien compris ta question.

C'est de l'humour ?
Extrait de nos Règles de fonctionnement

Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place, ne postez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé : il n'y serait probablement pas répondu. A vous d'expliquer ce que vous avez déjà fait, là où vous bloquez, et pourquoi...

2e Point : Comment bien poster ?, 6e paragraphe : tu peux aller voir...
Inutile d'afficher des draps de lit, s'pas ? T'as pas trouvé plus gros ?
Cela dit, c'est de la bouillie pour les chats...
[tex]\lim\limits_ {x \to 0} \dfrac{x^2}{t-1}=\lim\limits_{t \to 1}\dfrac{\ln^2(x)}{t-1}[/tex]
1.  [tex]\ln^2(x)[/tex]  ? je présume que ça remplace [tex]\ln(x^2)[/tex] ? Dans ce cas, c'est ennuyeux...
     En effet : [tex]\ln(x^2)=2\ln(x)[/tex]
Je pense que tu voulais écrire [tex]\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^{2\ln(x)}}{e^x-1}[/tex]
2. Pour quoi un changement de variable sur la moitié de la fraction ?
3. c'est dommage parce que la définition dit  :
    Une fonction f définie en a  est continue en a si [tex]\lim\limits_{x\to a} f(x)=f(a)[/tex]
La définition de f de l'énoncé sert à définir f en 0, sinon il aurait fallu en passer par un "prolongement par continuité" en 0 : cg http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … gcont.html

On peut passer par un DL...
[tex]e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots = 1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\cdots[/tex]
D'où
[tex]e^x-1 = 1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}-1=x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}[/tex]
Et je vais d'abord passer par l'inverse :
[tex]\dfrac{e^x-1}{x^2}=\dfrac{x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}}{x^2}=\dfrac 1 x +\dfrac 1 2+ \dfrac x 6=\dfrac{6+3x+x^2}{6x}[/tex]
Et [tex]\lim\limits_ {x \to 0} \dfrac{x^2}{e^x-1}=\lim\limits_ {x \to 0}\dfrac{6x}{6+3x+x^2}=\dfrac 0 6 =0[/tex]
Mais c'est un peu long et calculatoire...

Avec L'Hôpital :
[tex]\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f'(a)}{g'(a)}[/tex]

[tex]\dfrac{(x^2)'}{(e^x-1)'}=\dfrac{2x}{e^x}=2x\times\dfrac{1}{e^x}[/tex]

[tex]\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x^2}{e^x-1}=\lim\limits_{x \to 0}2x \times \dfrac{1}{e^x} = 0\times 1 = 0[/tex]

@+

[EDIT]
Changement de variable :
[tex]X =e^x-1\;\Leftrightarrow\;X+1=e^x\;\Leftrightarrow\;\ln(X+1)=x\;\Leftrightarrow\; [\ln(X+1)]^2=x^2[/tex]
C'était le carré du log ?