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Bonsoir j'aurai besoin d'aide pour un exercice :

Soit d : ℕ ---> ℕ l'application double et m : ℕ ---> ℕ     (division entière) l'application
                                                                n ---> n/2
moitié. Sont-elles injectives, surjectives, bijectives? Mêmes questions pour d o m et m o d.

Ce que j'ai répondu :

1. L'application d est injective car tous les éléments de l'ensemble d'arrivé ont au plus un antécédent. Mathématiquement parlant cela signifie que :

∀n, n'∈ℕ d(n)=d(n') ==> 2n = 2n'

<=> ∀n∈ℕ, d(n)=2n

(La justification est-elle bonne ?)

2. Concernant m (ce n'est pas une application si ?) car tous les éléments de l'ensemble de départ n'ont pas forcément d'image...

Concernant d o m :

Ddom = {n∈Dm / m(n)∈Dd} = {n∈N / m(n)∈N)

D'ou on a     d o m : N ---> N
                             n ---> 2(n/2) <=> n

Ca correspond à l'application identité qui est bijective

3. Maintenant pour pour m o d :

Dmod = {n∈Dd / d(n)∈Dm} = {n∈N / d(n)∈Dm}

d'ou on a  m o d : N ----> N
                           n -----> (2n)/2 <=> n

Là encore on a à faire a l'application identité qui est bijective.

Les réponses sont-elles correctes ? Les justifications sont-elles bonnes ? Merci d'avance!

Bonjour, j'aimerai savoir si mes réponses et justifications sont bonnes svp!

1. Faux car g∈B et g∉A
2. Faux car g∈B
3. f∈C\Abarre <=> f∈C et f∈A donc vrai
4. Faux car g∈B et g∈C mais g∉A
5. Faux car e∈A et e∈B et e∈C
6. Vrai car m∉A et m∉B et m∉C
7. Vrai car h,m∉A et h,m∉B

8. (A-B)UCU{c} ∈ P(E)
<=> {a,b,f}U{h,f,e,g}U{c} ∈ P(E)
<=> {a,b,c,e,f,g,h} ∈ P(E)

et c'est Vrai

Voici le diagramme de Venn :

Ensemble

Je m'excuse par avance je n'ai pas réussi à directement intégrer l'image dans le message...

Merci bcp!

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour savoir si j'ai correctement répondu aux questions, voici l'énoncé :

Soient deux ensembles E,F.

1) Soit A une partie de E⋂F. A est-elle une partie de E? de F? En déduire une comparaison de P(E⋂F) avec P(E)⋂P(F).

2) Soit B un ensemble qui est a la fois contenu dans E et aussi dans F. B est-il contenu dans E⋂F? En déduire une deuxième comparaison de P(E⋂F) avec P(E)⋂P(F).

3) Sur un exemple simple, montrez qu'une partie  de E⋃F peut ne pas être contenue dans E, ni dans F.

4) Montrez que toute partie de E est une partie de E⋃F. En déduire une comparaison de P(E⋃F) avec P(E)⋃P(F).

Ce que j'ai répondu :

1) A∊P(E⋂F) <=> A⊂(E⋂F)

A⊂(E⋂F) <=> ∀x∊A, x∊(E⋂F)

or x∊(E⋂F) <=> x∊E et x∊F

ainsi ∀x∊A, x∊E et x∊F

on peut donc dire que A⊂E et A⊂F

donc A∊P(E) et A∊P(F)

On en déduit donc que P(E⋂F)=P(E)⋂P(F)

2) On nous dit que B∊P(E) et B∊P(F) donc que B⊂E et B⊂F

Si B⊂E et B⊂F alors B⊂(E⋂F)

Concernant la deuxième comparaison je ne sais vraiment pas ...

3) E⋃F ={x / x∊E ou x∊F} (le ou n'est pas exclusif)

Supposons un ensemble B⊂F et B∉P(E)

alors B⊂(E⋃F) mais B⊄E

4) Comme dit à la question précédente : E⋃F ={x / x∊E ou x∊F} (le ou n'est pas exclusif)

donc si x∊E, x∊ E⋃F

de la même manière :

si B⊂E alors B⊂(E⋃F) <=> B∈P(E) alors B∈P(F)

On en déduit donc que :

P(E⋃F)≠P(E)⋃P(F)

J'aimerai savoir si mes réponses et justifications sont correctes et pertinentes, merci beaucoup!