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pour le  neutre on pose e=f(g(0) et on verifie qu'ilsatisfait la propriété de l'élément neutre idem pour le symétrique on pose x'=g[-f(x)] on vérifie qu'il satisfait la propriété du symetrique et pour cela on utilise le fait que f est une bijection de R dans lui meme et que g est la bijection réciproque de f et enfin on utilise le meme argument (bijection et bijection réciproque) pour montrer que f est un isomorphisme de (R,$) dans (R,+) ce qui donne

2) élément neutre

pour tout x de R soit e=f(g(0) le neutre de $ on a alors:

x$e=e$x=x--->g[f(x)+ f(g(0)]=g[(f(x)+0]=g(f(x)=x on fait le meme raisonnement pour le neutre à gauche. g(0) est le neutre pour $

3) symétrique

pour tout x de R soit x'=g[-f(x)] le symétrique de x alors on a :

x$x ′ =x'$x=e --->x$g[-f(x)]=g[f(x)+f[g(-f(x))]=g[f(x)-f(x)]=g(0) donc x'=g[-f(x)] est bien le symétrique de x pour $ à gauche et à droite

et enfin pour l'isomorphisme on a :

f(x$y)=f(g[f(x)+f(y)])=f(x)+f(y) donc (R,$) et (R,+) sont isomorphe car g est la bijection réciproque de f d'ou g(f(x)=x et g(f(y)=y

juste un soucis avec mon ordi il n'affiche pas le symbole $

rectification de l'exo

soient f une bijection de R dans lui meme et g sa bijection réciproque. on definit une loi de composition interne $ dans R définie par : pour tout (x,y) de R^2

on sait tout d'abord que f(g(x)=g(f(x)=x

x$y=g[f(x)+f(y)]

question:montrer que (R,$) est un groupe abélien isomorphe à (R,+)

on sait tout d'abord que f(g(x)=g(f(x)=x

ce que j'ai fait

1) associativité
pour tout x y z de R^3

(x$y)$z=g[f(x$y)+f(z)]=g[f(g[f(x)+f(y)])+f(z)]=g[f(x)+f(y)+f(z)]

x$(y$z)=g[f(x)+f(y$z)]=g[f(x)+f(g[f(y)+f(z)]=g[f(x)+f(y)+f(z)]

on a (x$y) $z=x$(y$z)

donc $ est associative

pour le neutre on pose e=f(g(0) et on verifie qu'ilsatisfait la propriété de l'élément neutre idem pour le symétrique on pose x'=g[-f(x)] on vérifie qu'il satisfait la propriété du symetrique et pour cela on utilise le fait que f est une bijection de R dans lui meme et que g est la bijection réciproque de f et enfin on utilise le meme argument (bijection et bijection réciproque) pour montrer que f est un isomorphisme de (R,$) dans (R,+) ce qui donne

2) élément neutre

pour tout x de R soit e=f(g(0) le neutre de $ on a alors:

x$e=e$x=x--->g[f(x)+ f(g(0)]=g[(f(x)+0]=g(f(x)=x on fait le meme raisonnement pour le neutre à gauche. g(0) est le neutre pour $

3) symétrique

pour tout x de R soit x'=g[-f(x)] le symétrique de x alors on a :

x$x ′ =x'$x=e --->x$g[-f(x)]=g[f(x)+f[g(-f(x))]=g[f(x)-f(x)]=g(0) donc x'=g[-f(x)] est bien le symétrique de x pour $ à gauche et à droite

et enfin pour l'isomorphisme on a :

f(x$y)=f(g[f(x)+f(y)])=f(x)+f(y) donc (R,$) et (R,+) sont isomorphe car g est la bijection réciproque de f d'ou g(f(x)=x et g(f(y)=y

et l'isomorphisme c'est grace aux bijection aussi