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#1 Re : Entraide (supérieur) » Equation différentielle et série entière » 08-03-2016 22:26:32
J'en reviens pas de bloquer sur des erreurs de calculs aussi bêtes ... !
Merci :)
#2 Re : Entraide (supérieur) » Equation différentielle et série entière » 08-03-2016 19:42:36
Merci pour ta réponse !
Effectivement, avec la relation de récurrence [tex]a_{2p+2}=-\dfrac{2}{2p+2}a_{2p}[/tex], il vient que [tex]a_{p}=\dfrac{(-1)^p}{p!}a_0[/tex] puis que [tex]y(x)=a_0e^{-x^2}[/tex] est solution de [tex](E)[/tex].
Par contre, je ne parviens à montrer que [tex]a_0+a_2=0[/tex].
Voilà mon calcul :
[tex]\sum_{n\ge 2} n(n-1)a_nx^{n-2}+2\sum_{n\geq 1} na_nx^n+2\sum_{n\geq 0} a_nx^n=0[/tex]
[tex]\sum_{n\ge 2} (n+1)(n+2)a_{n+2}x^n+2\sum_{n\geq 0} na_nx^n+2\sum_{n\geq 0} a_nx^n=0[/tex]
[tex]\sum_{n\ge 0} (n+1)(n+2)a_{n+2}x^n-a_2-6a_3+2\sum_{n\geq 0} na_nx^n+2\sum_{n\geq 0} a_nx^n=0[/tex]
Je ne vois pas l'erreur ... !
Merci à vous :)
#3 Entraide (supérieur) » Equation différentielle et série entière » 05-03-2016 23:33:16
- espresso
- Réponses : 4
Bonsoir tout le monde,
Je cherche à résoudre l'équation différentielle [tex]y''(x)+2xy'(x)+2y(x)=0[/tex] en mettant les solutions sous forme de série entière : [tex]y(x)=\sum_{n\geq 0} a_nx^n[/tex]
On a donc que [tex](E)[/tex] équivaut à [tex]2a_0+4a_1x+\sum_{n\geq 2} \big((n+1)(n+2)a_{n+2}+2(n+1)a_n\big)x^n=0[/tex]
Ainsi, on a :
[tex]2a_0+4a_1x=0[/tex] et [tex](n+1)(n+2)a_{n+2}+2(n+1)a_n=0[/tex] soit [tex]a_0+2a_1x=0[/tex] et [tex]a_{n+2}=-\dfrac{2}{n+2}a_n[/tex]
Je ne parviens pas dégager une relation de récurrence et, quand bien même, la relation [tex]a_0+2a_1x=0[/tex] impose que [tex]a_0=0[/tex] et [tex]a_1=0[/tex], et par conséquent, que [tex]a_n=0[/tex] pour tout [tex]n[/tex] ...
Merci pour votre aide :)
#4 Re : Entraide (supérieur) » Série entière » 05-03-2016 17:06:21
L'énoncé est faux.
#5 Re : Entraide (supérieur) » Série entière » 05-03-2016 16:52:59
Bonjour Ostap Bender,
Merci de ta réponse :)
Alors, wolfram trouve la même chose que moi, ou c'est plutôt moi qui trouve comme lui !
#6 Entraide (supérieur) » Série entière » 05-03-2016 15:57:11
- espresso
- Réponses : 5
Voici l'énoncé :
Pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], on considère [tex]a_n=\dfrac{n+5}{(n+1)(n+2)}[/tex]
1) Montrer que la série entière [tex]\sum_{n\ge 0} a_nx^n[/tex] a pour rayon de convergence [tex]1[/tex]. Pas de problème.
2) Montrer que [tex]\forall x \in ]0;1[, \sum_{n\ge 0} a_nx^n=\dfrac{4\ln(1+x)}{x}-\dfrac{3}{x^2}\big(\ln(1+x)-x\big)[/tex]
Voilà comment j'ai procédé :
On a : [tex]\dfrac{n+5}{(n+2)(n+3)}=\dfrac{4}{n+1}-\dfrac{3}{n+2}[/tex], et puisque que la série entière converge pour [tex]x \in ]0;1[[/tex], on peut séparer la somme, et avec quelques changements d'indices, il vient :
[tex]\sum_{n\ge 0}a_n x^n=\dfrac{4}{x}\sum_{n\ge 1} \dfrac{x^n}{n}-\dfrac{3}{x^2}\big(\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}-x\big)[/tex]
Ainsi, [tex]\sum_{n\ge 0}a_n x^n=-\dfrac{4\ln(1-x)}{x}+\dfrac{3}{x^2}\big(\ln(1-x)+x\big)[/tex]
Comment arriver au résultat voulu ? En particulier, faut-il transformer les sommes pour faire apparaître du [tex](-1)^{n-1}[/tex], et par conséquent du [tex]\ln(1+x)[/tex] ?
Merci !
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