Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ca vroudrait dire que c'est plus un changement de variable 'hors somme' pour trouver un équivalent à

$$ \frac{1}{k+1} \binom{n-1}{k} $$

Si je vérifie l'égalité pour deux valeurs particulières par exemple n=4 et k=2 ça me donne

$$ \frac{1}{n} \binom{n}{k+1} = \frac{1}{k+1} \binom{n-1}{k} $$

$$ \frac{1}{4} \binom{4}{3} = \frac{1}{3} \binom{3}{2} $$

$$ 1 = 1 $$

Ca prouve rien mais bon.
Alors j'ai essayé de continuer.

$$ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k+1} \binom{n-1}{k} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{n} \binom{n}{k+1} $$

Là maintenant je change d'indice i= k+1 puis je reviens à k

$$ = \frac{1}{n} \sum_{k=2}^{n} (-1)^{k-1} \binom{n}{k} $$

Il faudrait que je trouve un télescopage.
Les (-1) avec une puissance paire vont donner du plus et avec une puissance impaire vont donner du moins ?
Faut que je cherche dans ce sens là ?

Merci pour ta réponse.
J'aurais dû le préciser mais je ne l'avais plus en tête.
La prof nous a demandé de ne pas passer par une intégration mais de travailler sur les coeff binomiaux.
Je veux dire que par exemple on en a fait d'autres où on a sorti un n de n! et un k de k! dans la formule de calcul d'un k parmi n pour faire apparaître une relation du type $$ \binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1} $$. J'ai cru comprendre qu'il fallait aller dans ce sens mais sans plus.