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Bonjour,

Je rencontre un problème sur un exercice sur les Séries de Fourier.

On considère une fonction [tex] 2\pi[/tex]- périodique définie par:
[tex]g(x)=0[/tex] pour x appartenant à l'intervalle [[tex] -\pi[/tex]; 0 ]
[tex]g(x)=sin(x)[/tex] pour x appartenant à l'intervalle [ 0 ; [tex] \pi[/tex]]

Question "stupide": dans l'énoncé, les intervalles sont marqués ([tex] -\pi[/tex]; 0 ] et ( 0 ; [tex] \pi[/tex]]....les parenthèses au lieu des crochets sont des erreurs de syntaxe ou ont-elles une signification...c'est la première fois que je vois ce type de notation.

1) Déterminer la série de Fourier trigonométrique S(g) de g.

J'obtiens:
[tex]a_0=\frac{1}{\pi}[/tex]

[tex]a_n=-\frac{(-1)^{1+n}-1}{2\pi.(1+n)}-\frac{(-1)^{1-n}-1}{2\pi.(1-n)}[/tex]

d'où on peut en déduire que:
pour n impaire:
[tex]a_n=0[/tex]
pour n=2p paire:
[tex]a_p=-\frac{2}{\pi.(4p²+1)}[/tex]

Jusque là, j'ai pas rencontré de problème. Par contre, là où ça se complique pour moi c'est lors du calcul de bn.

[tex]b_n=\frac{1}{\pi}.\int_0^{\pi}\,sin(x).sin(nx)\,dx[/tex]
[tex]b_n=\frac{1}{2\pi}.\int_0^{\pi}\,(cos(x(1-n))-cos(x(1+n)))\,dx[/tex]
...
[tex]b_n=\frac{1}{2\pi(1-n)}.[sin(x(1-n))]_0^{\pi}-\frac{1}{2\pi(1+n)}.[sin(x(1+n))]_0^{\pi}[/tex]

[tex]b_n=0[/tex]

Voilà mon problème, je trouve 0 alors que d'après la correction de l'exercice, je devrais avoir un résultat différent et je ne comprends pas pourquoi. Ça me semble pourtant évident.

Si quelqu'un peut m'expliquer, ça serait très sympa.

Merci d'avance et bonnes fêtes de fin d'années.

Neodole

Bonjour,

Je suis bloqué sur un exercice concernant l'étude de la convergence d'une série numérique dont le terme générale est, avec n>=2:
[tex]
Un=\frac{1}{(n-1)^\alpha}+\frac{1}{(n+1)^\alpha}-\frac{2}{(n)^\alpha}
[/tex]

Question:
Étudier la convergence de la série en distinguant les cas où α=0, α=-1 et α≠{0,-1}.

Pour les 2 premiers cas, je trouve que la suite Un est une suite stationnaire de terme constant nulle et j'en déduis donc que la série de terme générale Un converge vers 0. Pour le dernier cas, ça se complique. L'énoncé suggère d'utiliser les développements limités ainsi qu'un équivalent adéquat....

Pour ma part, je n'ai pas réussi à trouver comment passer par un DL. La série de terme général Un est une somme de 3 séries dont au premier coup d'oeil une de Rieman telle que:
[tex]
\sum_{n=2}^{+\infty} Un=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{(n-1)^\alpha}+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^\alpha}-2*\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{(n)^\alpha}
[/tex]
Ensuite, j'ai été tenté d'écrire:
[tex]
\sum_{n=2}^{+\infty} Un=\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{1}{(n)^\alpha}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n)^\alpha}-2*\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{(n)^\alpha}
[/tex]

Cela me permet de dire qu'il s'agit d'une somme de 3 séries de Rieman et que donc que la série de terme Un converge si et seulement si α>1 mais ça ne me convient pas et ça ne me permet pas de calculer d'en déterminer Sn (question suivante). En plus, c'est contradictoire avec la condition initiale de n>=2....

Auriez-vous une suggestion à me faire car je vais finir par ne plus avoir de cheveux?????

Merci d'avance

Bonjour à tous,

Je rencontre un problème pour démontrer la majoration d'une suite récurrente.

Mon problème est le suivant:
Soit une suite u_n+1=(n+u_n)/n² avec u1=1

Démontrer que u_n<=2.

J'ai utilisé une démonstration par récurrence. La condition initiale étant démontré puisque u1<=2 ensuite je cherche à vérifier la condition de majoration au rang n+1...mais là je bloque puisque j'obtiens:
u_n<=2
u_n+n<=2+n
(u_n+n)/n²<=(2+n)/n².....

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider? Je me suis arraché les cheveux sur ce problème. Je commence à perdre patience...j'ai l'impression d'être débile.

Merci d'avance