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Bonjour je viens actuellement d'entré en première année de classe préparatoire et j'ai un devoir à rendre voici l'énoncé:

Exercice 1 :
k et m sont deux entiers non nuls. n est un entier. Soit la fonction :
F_k : R ==>R, x==>F_k(x)= (1-kx)exp(kx) . On considère S_k,n = {x ∈ℝ, F_k(x) = n} et
N_k,n = Card(S_k,n) (Card désignant le nombre d’éléments de l’ensemble)
On note SH_m l’ensemble des fonctions réelles (x ==> y(x)), deux fois dérivables sur IR, qui vérifient l’équation différentielle (H_m) : my’’ -2 m² y’ + m³ y = 0
On note S_m l’ensemble des fonctions réelles (x ==> y(x)), deux fois dérivables sur IR, qui vérifient l’équation différentielle (E_m) : my’’ -2 m² y’ + m³ y = exp(2x)
1. Etudier F_k (tableau de variations et limites) en fonction de la valeur de k
2. Déterminer S_k,1 en fonction de k
3. Déterminer S_k,0 en fonction de k
4. Déterminer N_k,k en fonction de k
5. Déterminer SH_m
6. Déterminer S_m (Attention à bien distinguer les cas, en fonction de m)
7. Dans le cas m = 2, déterminer la fonction y₂ solution de (E₂) et vérifiant y₂(0)=y₂’(0)=0
8. Dans le cas m ≠ 2, déterminer la fonction ym solution de (E_m) et vérifiant y_m(0)=y_m’(0)=0
9. Dans le cas m ≠ 2, montrer que pour tout x réel : y_m(x)= A exp(2x) [1- F_B(x)], où A et B sont des constantes que l’on déterminera en fonction de m
10. En déduire que si m ≠ 2, ym est de signe constant sur IR

Pour débuté j'ai commencer par dérivé F_k, fait le tableau de variation et déduit les limites en prenant 2 cas distincts: k<0 et k>0.
Je voudrais avoir vos avis et de l'aide si possible pour la suite de l'exercice.
Merci d'avance.