Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut Yoshi sama,

perso, j'avais trouvé ça sur la toile

Sujet 6 : Systèmes de numération et de codage – Application à l’écriture des grands nombres

A / Le système binaire et la base 2

Le système de numération que nous utilisons habituellement est le système décimal, les nombres y sont écrits en base 10 :
7896 = 7x103 + 8 x 102 + 9 x 10 + 6

Pour écrire les nombres, on utilise les 10 chiffres :
0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9

Mais on peut aussi choisir d’autres bases, par exemple la base 2. Les seuls chiffres utilisés sont alors 0 et 1
Le nombre qui s’écrit 10111 en base  2 , s’écrit
1 x 24  + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 22 + 1 x 2 + 1

Pour passer de l’écriture en base 10 à l’écriture en base 2, on effectue les divisions successives par 2 :

67    2                   
1    33    2               
    1    16    2           
        0    8    2       
            0    4    2   
                0    2    2
                    0    1

D’où , en remontant les restes des divisions successives :  67 = 100011 en base 2.
Autre façon : tableau du système linéaire :

26 = 64    25 = 32    24 = 16    23 = 8    22 = 4    21 = 2    20 = 1
1    0    0    0    0    1    1

67=64+3    et    3=2+1        donc    67 = 26 + 21 + 20

Exercices :

1.    Ecrire en base 10 le nombre qui s’écrit 1000101110 en base 2.
2.    Ecrire en base 2 le nombre qui s’écrit 157 en base 10. Même question pour 10 en base 10.
3.    Faire la table d’addition et la table de multiplication de la base 2.
4.    Calculer en base 2 : 1101101 + 1011011  puis 101101 x 10011011. Donner alors les règles simples de l’addition et de la multiplication dans le système binaire.
5.    D’après ce qui précède, quelles sont les avantages et les inconvénients du système binaire ?
6.    Les paysans russes faisaient la multiplication de 734 x 325 de la manière suivante :

734    325   
1468    162    162 pair, rayer la ligne
1936    81   
5872    40    40 pair, rayer la ligne
11744    20    20 pair, rayer la ligne
23488    10    10 pair, rayer la ligne
46976    5   
93952    2    2 pair, rayer la ligne
187904    1   
238550        Total

Expliquer et justifier cette méthode.
Procéder de même avec 451 x 148
Compléter l’algorithme de calcul de la division de 28980 par 252 (inverse de l’opération de multiplication) :

252       
       
       
    1   
28980        Total

7.    Pour pallier l’un des inconvénients du système binaire, on peut utiliser les systèmes puissances de 2 , comme le système 24 = 16 appelé système hexadécimal dont les chiffres sont :
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E et F.
On peut alors passer du système binaire directement dans le  système hexadécimal en groupant les chiffres du système binaire par paquets de 4 chiffres à partir de la gauche.

Exemple :

101    0110    1111    Le nombre en base 2
= 5    = 6     = 15    Signification
5    6    F    Traduction en base 16

Dans l’autre sens :

A    B    C    Le nombre en base 16
= 10    = 11    = 12    Signification
1010    1011    1100    Traduction en base 2

Exercices :
Traduire le nombre binaire 100101101111 en base 16.
Traduire le nombre hexadécimal BAC en base 2.
Quel inconvénient présente la base 16 par rapport à la base 2 ?

B / Le Code CLE

Notre système de numération ne permet pas à la calculatrice d’obtenir la valeur exacte du produit 123125256 x 785698254 ; on en a seulement une valeur approchée.
Pour pallier cet inconvénient, on a cherché d’autres façons d’écrire les nombres.
L’une d’entre elles s’appelle le code CLE (Code à Large Echelle).

1.    Définition sur un exemple :
Le nombre 67 en base 10 s’écrit 100011 en base 2.
En effet on a la décomposition binaire suivante :
67 = 1 x 26  + 0 x 25 + 0 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 2 + 1
67 = 26  + 21 +  20
67 s’écrit alors en code CLE sous la forme (6 ; 1 ; 0).

Exercice d’application :
a.    Ecrire en base 10 le nombre ( 7 ; 5 ; 3 ; 1 )
b.    Ecrire en code CLE les nombres en base 10 suivants : 359 , 250 et 128.

2.    Premières propriétés : nature du nombre
a.    A quoi reconnaît-on qu’un nombre écrit en code CLE est impair ?
b.    A quoi reconnaît-on qu’un nombre écrit en code CLE est pair ?
c.    A quoi reconnaît-on qu’un nombre écrit en code CLE est une puissance de 2 ?

3.    Propriétés de l’addition
a.    Peut-on facilement additionner les nombres écrits en code CLE ?
b.    Ecrire en code CLE la somme ( 15 )CLE + ( 15 )CLE , puis plus généralement la somme ( n )CLE + ( n )CLE .
c.    Ecrire en code CLE : (11;5;3;0)CLE  +  (34;11;5;3)CLE  puis (18;16;8;4;3;2)CLE + (19;16;9;4 ;3;2;1)CLE.
d.    Peut-on énoncer une règle générale ?

4.    Propriétés de la multiplication
a.    Peut-on facilement multiplier les nombres écrits en code CLE ?
b.    Ecrire en code CLE le produit  ( n )CLE x ( m )CLE où n et m sont deux entiers naturels.
c.    Ecrire en code CLE : (5;2;0)CLE x ( 4 )CLE   puis  (5;3)CLE x (7;2;1)CLE.
d.    Peut-on énoncer une règle générale ?
e.    Ecrire en code CLE le carré :  (12;4)CLE 2.

5.    Exercice de synthèse :
a.    Traduire ( 123125256 )10  et  ( 768648254 )10 en code CLE.
b.    Trouver en code CLE le résultat du produit de ces deux nombres.
c.    Le traduire en base 10.

C'est assez proche.